Question

Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола y = 1/5x2 и прямая y = 20-3x . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Answer 1

Ответ:

Парабола и прямая пересекаются в двух точках: (-20;80) и (5;5).

Объяснение:

Парабола y = 1/5x2  и прямая y = 20 - 3x пересекаются, если эта система имеет решение.

y = 1/5x2,

y = 20 - 3x;

1/5x2 = 20 - 3x;

1/5x2 + 3x - 20 = 0 (умножим на 5);

5x2 + 15x - 100 = 0;

Легко найти корни по теореме, обратной теореме Виета (можно и по формуле корней).  

 x1 = -20, x2 = 5.

Тогда y1 = 20 - 3 * (-20) = 20 + 60 = 80,

        y2 = 20 - 3 * 5 = 20 - 15 = 5.

Парабола и прямая пересекаются в двух точках: (-20;80) и (5;5).

Answer 2

Для определения точек пересечения параболы и прямой, необходимо найти значения x, при которых y координаты обеих функций совпадают. То есть, необходимо решить уравнение:

1/5x^2 = 20 - 3x.

Переносим все члены на одну сторону:

1/5x^2 + 3x - 20 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться дискриминантом (D = b^2 - 4ac), где a = 1/5, b = 3, и c = -20.

D = 3^2 - 4 * (1/5) * (-20) = 9 + 16 = 25.

Так как дискриминант положителен (D > 0), у уравнения есть два корня. Выразим x через дискриминант и коэффициенты уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a.

Подставляем значения:

x₁ = (-3 + √25) / (2 * 1/5) = (-3 + 5) / (2/5) = 2.5, x₂ = (-3 - √25) / (2 * 1/5) = (-3 - 5) / (2/5) = -10.

Теперь найдем соответствующие y координаты для каждого из x:

Для x₁: y = 20 - 3 * 2.5 = 20 - 7.5 = 12.5. Для x₂: y = 20 - 3 * (-10) = 20 + 30 = 50.

Итак, точки пересечения параболы и прямой имеют координаты (2.5, 12.5) и (-10, 50).