Question

Доведіть нерівність c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 ≥ 0 ​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

c^2 + 4d^2 + 4cd + d^2 - 4d + 4 = (c + 2d)^2 + (d - 2)^2 >=0 для любых c,d. Что и требовалось доказать

Answer 2

Для доведення даної нерівності нам знадобиться використати алгебраїчні перетворення. Основна ідея полягає в тому, щоб спробувати виразити нерівність як суму квадратів або використати інші алгебраїчні ідентичності для спрощення виразу.

Почнемо з даної нерівності: c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 ≥ 0

Ми можемо виділити квадратичні терміни c^2 і d^2: (c^2 + 4cd + 4d^2) + d^2 - 4d + 4 ≥ 0

Тепер ми можемо спростити перший доданок, використовуючи квадратичний трьохчлен: (c + 2d)^2 + d^2 - 4d + 4 ≥ 0

Ми отримали вираз, де перший доданок є квадратом суми c і 2d. Тепер давайте спростимо інші доданки: (c + 2d)^2 + (d^2 - 4d + 4) ≥ 0

Тепер ми можемо спростити другий доданок, враховуючи, що це квадратичний трьохчлен: (c + 2d)^2 + (d - 2)^2 ≥ 0

Обидва доданки вище ніколи не можуть бути від'ємними, оскільки квадрати дійсних чисел завжди не менше нуля. Тому, додатність кожного з доданків гарантує, що весь вираз буде більше або дорівнюватиме нулю:

(c + 2d)^2 + (d - 2)^2 ≥ 0

Отже, нерівність c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 ≥ 0 справедлива для будь-яких дійсних значень c і d.