Question

Найдите коэффициенты при х^3 у многочлена Р(х) = (х + 5)^5 –(2х + 1)^4​

Answer 1

Р(3) =(3+5) ^5 - (2*3+1) ^4=8^5-7^4=32768-2401=30367

Answer 2

Давайте разберемся с вычислением коэффициентов при x^3 в данном многочлене.

Мы имеем многочлен Р(х) = (х + 5)^5 – (2х + 1)^4.

Для нахождения коэффициентов при x^3 в этом многочлене, нам нужно разложить каждое слагаемое в скобках в биномиальной степенной форме и затем выделить коэффициенты при x^3.

1. Разложение (х + 5)^5: Используя биномиальную формулу, раскроем (х + 5)^5:

(х + 5)^5 = C(5, 0) * х^5 * 5^0 + C(5, 1) * х^4 * 5^1 + C(5, 2) * х^3 * 5^2 + C(5, 3) * х^2 * 5^3 + C(5, 4) * х^1 * 5^4 + C(5, 5) * х^0 * 5^5

Теперь выделим коэффициент при x^3: C(5, 2) * х^3 * 5^2 = 10 * х^3 * 25 = 250х^3.

2. Разложение (2х + 1)^4: Аналогично, раскроем (2х + 1)^4:

(2х + 1)^4 = C(4, 0) * (2х)^4 * 1^0 + C(4, 1) * (2х)^3 * 1^1 + C(4, 2) * (2х)^2 * 1^2 + C(4, 3) * (2х)^1 * 1^3 + C(4, 4) * (2х)^0 * 1^4

Теперь выделим коэффициент при x^3: C(4, 1) * (2х)^3 * 1^1 = 4 * (2х)^3 = 32х^3.

Теперь вычитаем полученные коэффициенты: 250х^3 - 32х^3 = 218х^3.

Итак, коэффициент при x^3 в многочлене Р(х) равен 218.