Question

Решите систему уравнений 2x^2 + xy - y^2 =20 x^2 - 4xy + 7y^2 = 13

Answer 1

2x^2 + xy - y^2 =20   |*13

x^2 - 4xy + 7y^2 = 13 |*-20

x, y ≠ 0

26x^2 + 13xy - 13y^2 =260  

-20x^2 + 80xy - 140y^2 = -260

Складываем

6x^2 + 93xy - 153y² = 0  | :y²

6(x/y)² + 93x/y - 153 = 0

x/y = t

6t² + 93t - 153 = 0

D = 93² + 4*6*153 = 12321 = 111²

t12 = (-93 +- 111)/12 = -17     3/2

1. x/y = -17

x = -17y

2x^2 + xy - y^2 =20

2(-17y)^2 + y*(-17y) - y^2 = 20

560y^2 = 20

y^2 = 1/28

y1 = √1/28 = √7/14

x = -17y

x1 = -17√7/14

y2 = -√7/14

x2 = 17√7/14

2. x/y = 3/2

2x^2 + xy - y^2 =20

2(3/2y)^2 + y*3/2y - y^2 = 20

9/2y^2 + 3/2y^2 - y^2 = 20

5y^2 = 20

y^2 = 4

y3 = 2

x3 = 3

y4 = -2

x4 = -3

ответ (3,2)(-3,-2)( -17√7/14, √7/14) (17√7/14, -√7/14)

Answer 2

Для решения этой системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Первое уравнение: $2x^2 + xy - y^2 = 20$

Выразим одну из переменных из этого уравнения, например, выразим $y$: $y = \frac{2x^2 - 20}{x - 1}$

Теперь подставим это значение $y$ во второе уравнение: $x^2 - 4x\left(\frac{2x^2 - 20}{x - 1}\right) + 7\left(\frac{2x^2 - 20}{x - 1}\right)^2 = 13$

Упростим уравнение: $x^2 - \frac{8x^3 - 80x}{x - 1} + \frac{28x^4 - 560x^2 + 2800}{(x - 1)^2} = 13$

Умножим обе стороны на $(x - 1)^2$ для упрощения выражения: $x^2(x - 1)^2 - 8x^3 + 80x + 28x^4 - 560x^2 + 2800 = 13(x - 1)^2$

Раскроем скобки и упростим уравнение: $x^4 - 2x^3 - 545x^2 + 80x + 2787 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Его аналитическое решение может быть довольно сложным. Обычно для таких уравнений применяют численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти его корни.

Если вам нужны конкретные численные значения корней, то вам потребуется использовать программное решение или специализированный математический инструмент.