Question

Найдите коэффициент x^3 при разложении (x+5)^6

Answer 1

Объяснение:

$C_6^3x^35^3=\frac{6!}{(6-3)!*3!} *x^3*125=\frac{3!*4*5*6}{3!*1*2*3} *x^3*125=4*5*125*x^3=2500x^3.$

Ответ: 2500.

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ при разложении $(x + 5)^6$, можно воспользоваться биномиальной теоремой. Общая формула для биномиального разложения:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$,

где $\binom{n}{k}$ - биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, $a = x$ и $b = 5$, $n = 6$. Мы ищем коэффициент при $x^3$, поэтому нужно найти член разложения с $k = 3$:

$\binom{6}{3} x^{6-3} 5^3 = \binom{6}{3} x^3 125$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Теперь подставим значение коэффициента:

$20 \cdot x^3 \cdot 125 = 25000x^3$.

Итак, коэффициент при $x^3$ в разложении $(x + 5)^6$ равен 25000.