Question

Найдите коэффициент при х в 3 степени в биномиальномразложени (3 +х) в 4 степени​

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^4+C_4^1a^3b+C_4^2a^2b^2+C_4^3ab^3+b^4\ }\\\\\\a=3\ ,\ \ b=x\\\\(3+x)^4=3^4+4\cdot 3^3\cdot x+\dfrac{4\cdot 2}{2!}\cdot 3^2\cdot x^2+\dfrac{4\cdot 3\cdot 2}{3!}\cdot 3\cdot x^3+x^4=\\\\\\{}\qquad \qquad =81+108x+36x^2+12x^3+x^4$

Коэффициент перед  $x^3$  равен  12 .

P.S.   $(3-x)^4=81-108x+36x^2-12x^3+x^4$  ,  тогда коэффициент при  $x^3$  

равен  (-12) , так как   $a=3\ ,\ b=-x$  .

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в биномиальном разложении $(3 + x)^4$, мы можем использовать формулу бинома Ньютона:

$(a + b)^n = \binom{n}{0} a^n b^0 + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1} a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n} a^0 b^n$,

где $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - биномиальный коэффициент.

В данном случае $a = 3$ и $b = x$, а $n = 4$. Мы ищем коэффициент при $x^3$, что соответствует случаю, когда $k = 1$ в биномиальном коэффициенте. Таким образом, нас интересует член $\binom{4}{1} \cdot 3^3 \cdot x^1$:

$\binom{4}{1} \cdot 3^3 \cdot x^1 = 4 \cdot 27 \cdot x = 108x$.

Итак, коэффициент при $x^3$ в разложении $(3 + x)^4$ равен $108$.