Question

Найдите коэффициент при x^2 в биномиальном разложении (2x - 1)^4​

Answer 1

$\boxed {\ (a+b)^4=a^2+C_4^1\, a^3b+C_4^2\, a^2b^2+C_4^3\, ab^3+b^4\ }\\\\\\(2x-1)^4=(2x+(-1))^4=\, ...\, +C_4^1\, \cdot \, (2x)^3\, \cdot \, (-1)\, +\, ...=\, ...+\, 4\, \cdot \, (8x^3)\, \cdot (-1)+...=\\\\\\=...\, +(-4)\cdot 8\cdot x^3\, +\, ...=...\, +(-32)\cdot x^3\, +\, ...$

Коэффициент при  $x^3$   равен  $(-32)$  .

$P.S.\ \ \ \ C_{n}^{k}=\dfrac{n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)}{k!}$

Answer 2

Чтобы найти коэффициент при x^2 в биномиальном разложении выражения (2x - 1)^4, мы можем использовать формулу для общего члена в разложении бинома:

C(n, k) * (a^(n-k)) * (b^k),

где C(n, k) - число сочетаний из n по k, a и b - члены бинома, n - степень бинома, а k - показатель степени.

В данном случае, у нас есть (2x)^4 и (-1)^0, поскольку (-1) возводится в степень 0 для каждого члена в разложении. Таким образом, мы можем записать общий член разложения при x^2:

C(4, 2) * (2x)^(4-2) * (-1)^2

C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6, (2x)^(4-2) = (2x)^2 = 4x^2, (-1)^2 = 1.

Теперь мы можем подставить значения:

6 * 4x^2 * 1 = 24x^2.

Таким образом, коэффициент при x^2 в биномиальном разложении (2x - 1)^4 равен 24.