Question

Найдите наибольшее значение функции y=ln(x+5)^9-9x на отрезке [-4,5;0].

Answer 1

Ответ:

$y=ln(x+5)^9-9x\ \ ,\ \ \ x\in [-4,5\ ;\ 0\ ]\\\\y=9\, ln(x+5)-9x\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x>-5\\\\y'=\dfrac{9}{x+5}-9=\dfrac{9-9x-45}{x+5}=\dfrac{-(9x+36)}{x+5}=0\ \ ,\ \ x=-4\\\\\\y(-4)=ln1-36=-36\\\\y(-4,5)=ln(0,5)^9+40,5\approx -6,24+40,5=34,26\\\\y(0)=ln5^9-0\approx 14,48\\\\y(naibol)_{[-4,5\ ;\ 0\ ]}=y(-4,5)=ln(0,5)^9+40,5=40,5-9ln2\\\\y(naimen)_{[-4.5\ ;\ 0\ ]}=y(-4)=-36$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $y = \ln{(x+5)^9} - 9x$ на заданном интервале $[-4,5; 0]$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y$ по переменной $x$: $y' = \frac{9}{x+5} - 9.$

2. Найти критические точки, где $y' = 0$: $\frac{9}{x+5} - 9 = 0.$

3. Решить уравнение относительно $x$ и найти критические точки $x_{\text{crit}}$.

4. Для каждой критической точки $x_{\text{crit}}$, а также на концах интервала $[-4,5; 0]$, вычислить значение функции $y$ и найти наибольшее из них.

Давайте начнем:

1. Производная функции $y$: $y' = \frac{9}{x+5} - 9.$

2. Критические точки: $\frac{9}{x+5} - 9 = 0.$ Решая это уравнение относительно $x$, получаем: $\frac{9}{x+5} = 9 \Rightarrow x+5 = 1 \Rightarrow x = -4.$ Таким образом, единственная критическая точка на интервале $[-4,5; 0]$ - это $x_{\text{crit}} = -4$.

3. Вычислим значение функции $y$ в критической точке и на концах интервала: $y(-4) = \ln{((-4)+5)^9} - 9(-4) = \ln{1} + 36 = 36,$ $y(0) = \ln{(0+5)^9} - 9(0) = \ln{5^9} = 9\ln{5} \approx 21.49.$

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ на интервале $[-4,5; 0]$ равно $y = 36$, и оно достигается в точке $x = -4$.