Question

Область, ограниченная кривой y=√x осью Ox и прямой x = 4, вращается вокруг оси Ox на 360°. Найди объем полученного тела вращения.​

Answer 1

ответ: 8п, решение на фотке

Answer 2

Чтобы найти объем тела, полученного вращением области ограниченной кривой y = √x, осью Ox и прямой x = 4 на 360° вокруг оси Ox, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек или метод дисковых шайб.

Давайте воспользуемся методом цилиндрических оболочек. Объем такого тела можно выразить интегралом:

$V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx$

где $f(x)$ - это функция, задающая верхнюю границу вращения, а $a$ и $b$ - интервал, на котором мы проводим вращение.

В данном случае, $f(x) = \sqrt{x}$, а интервал $a$ и $b$ будет от 0 до 4, так как прямая $x = 4$ ограничивает область.

Подставляя значения, получаем:

$V = 2\pi \int_{0}^{4} x \cdot \sqrt{x} \, dx$

Выполняя интегрирование, получим:

$V = 2\pi \int_{0}^{4} x^{3/2} \, dx$ $V = 2\pi \cdot \frac{2}{5} x^{5/2} \Bigg|_{0}^{4}$ $V = \frac{16\pi}{5} \cdot \frac{32}{2}$ $V = \frac{512\pi}{5}$

Итак, объем тела, полученного вращением указанной области на 360° вокруг оси Ox, равен $\frac{512\pi}{5}$ единицам объема.