Question

Коэфиэнт при x в кубе в разложении бинома Ньютона(x-1) в пятой степени равен

Answer 1

Ответ:

10

Объяснение:

$C_{3}^{5}*(-1)^{2}=\frac{5!}{3!*2!}*1=10$

Проверим себя с помощью Maxima

Answer 2

Для нахождения коэффициента при $x^3$ в разложении бинома Ньютона $(x-1)^5$, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона:

$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k$,

где $C(n, k)$ обозначает биномиальный коэффициент "n по k", который равен $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае, $a = x$, $b = -1$, $n = 5$, и мы хотим найти коэффициент перед $x^3$, то есть $k = 2$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$(x - 1)^5 = \sum_{k=0}^{5} C(5, k) \cdot x^{5-k} \cdot (-1)^k$.

Теперь, чтобы найти коэффициент при $x^3$ (т.е., когда $5 - k = 3$), мы подставляем $k = 2$ и вычисляем:

$C(5, 2) \cdot x^{5-2} \cdot (-1)^2 = C(5, 2) \cdot x^3 \cdot 1$.

Биномиальный коэффициент $C(5, 2)$ равен:

$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Таким образом, коэффициент перед $x^3$ в разложении $(x-1)^5$ равен $10 \cdot x^3$.