Question

Какую замену необходимо выполнить при решении уравнения? (Выполнить замену и решить, их две) (2х^2+3х+2)(2х^2+3х+3)=21

Answer 1

$(2x^2+3x+2)(2x^2+3x+3) = 21\\(2x^2+3x+2)(2x^2+3x+2+1)=21\\(2x^2+3x+2)^2 + (2x^2+3x+2) - 21 = 0\\D_{2x^2+3x+2} = 1 + 48 = 49\\2x^2 + 3x + 2 = \frac{-1 -7}{2} = -4 => 2x^2 + 3x + 6 = 0 => x \in \varnothing\\ 2x^2 + 3x + 2 = \frac{-1 +7}{2} = 3 => 2x^2 + 3x - 1 = 0 => x = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}\\Answer: x = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$

Answer 2

Давайте выполним замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $u = 2x^2 + 3x$. Теперь мы можем переписать данное уравнение как:

$u(u + 1) = 21$.

Раскроем скобки:

$u^2 + u = 21$.

Полученное квадратное уравнение можно решить, приведя его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$u^2 + u - 21 = 0$.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D$ вычисляется как $D = b^2 - 4ac$.

В данном случае $a = 1$, $b = 1$, и $c = -21$. Подставим эти значения:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 1 + 84 = 85$.

Так как $D > 0$, у нас есть два действительных корня:

$u = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{85}}{2}$,

$u = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{85}}{2}$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

1. $u = 2x^2 + 3x = \frac{-1 + \sqrt{85}}{2}$:

   $2x^2 + 3x - \frac{-1 + \sqrt{85}}{2} = 0$.

2. $u = 2x^2 + 3x = \frac{-1 - \sqrt{85}}{2}$:

   $2x^2 + 3x - \frac{-1 - \sqrt{85}}{2} = 0$.

Это дает два квадратных уравнения, которые можно решить с помощью квадратных корней или других методов для квадратных уравнений.