Question

Срочно!! Помогите, прошу! Докажите, что а³+4а для любых целых а либо делится на 5,либо при делении на 5 дает остаток 1,либо при делении на 5 дает остаток 4 Помогите, пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

2*2*2+4*2=16

16:5=3 остаток: 1

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение a³ + 4a для произвольного целого числа a.

1. Первый случай: a делится на 5. Если a делится на 5, то a можно представить в виде a = 5k, где k - некоторое целое число. Подставим это значение в выражение:

a³ + 4a = (5k)³ + 4 * (5k) = 125k³ + 20k = 5(25k³ + 4k).

Мы видим, что в этом случае a³ + 4a делится на 5 без остатка.

2. Второй случай: a дает остаток 1 при делении на 5. Если a дает остаток 1 при делении на 5, то a можно представить в виде a = 5k + 1, где k - некоторое целое число. Подставим это значение в выражение:

a³ + 4a = (5k + 1)³ + 4 * (5k + 1).

Раскроем куб с помощью бинома Ньютона:

(5k + 1)³ = 125k³ + 75k² + 15k + 1.

Теперь подставим это в выражение:

a³ + 4a = 125k³ + 75k² + 15k + 1 + 4 * (5k + 1) = 125k³ + 75k² + 15k + 1 + 20k + 4 = 125k³ + 75k² + 35k + 5.

Мы видим, что a³ + 4a в этом случае также делится на 5 без остатка.

3. Третий случай: a дает остаток 4 при делении на 5. Если a дает остаток 4 при делении на 5, то a можно представить в виде a = 5k + 4, где k - некоторое целое число. Подставим это значение в выражение:

a³ + 4a = (5k + 4)³ + 4 * (5k + 4).

Раскроем куб:

(5k + 4)³ = 125k³ + 300k² + 240k + 64.

Теперь подставим это в выражение:

a³ + 4a = 125k³ + 300k² + 240k + 64 + 4 * (5k + 4) = 125k³ + 300k² + 240k + 64 + 20k + 16 = 125k³ + 300k² + 260k + 80 = 5(25k³ + 60k² + 52k + 16).

В этом случае a³ + 4a также делится на 5 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что для любых целых чисел a, выражение a³ + 4a либо делится на 5, либо при делении на 5 дает остаток 1, либо при делении на 5 дает остаток 4.