Question

Решите уравнение х⁴+2х³-х²-2х=0​

Answer 1

Можно решить по схеме Горнера, но если ты не в проф мате, то решу методом вынесения общ множителя за скобки:

х³ (х + 2) - х (х + 2) = 0

(х + 2) (х³ - х) = 0

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0:

х +2 = 0       или      х³ - х = 0

х = -2                       х (х² - 1) = 0

                               х = 0    или      х² = 1

                                                        х = ±1

Ответ: -2 ; 0 ; 1 ; -1

Answer 2

Для решения уравнения $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = 0$ можно попробовать применить метод факторизации или метод численного решения. Давайте попробуем факторизацию.

Сначала вынесем общий множитель $x$:

$x(x^3 + 2x^2 - x - 2) = 0$

Теперь мы видим, что первый множитель $x = 0$ является одним из корней. Давайте рассмотрим второй множитель $x^3 + 2x^2 - x - 2$ и попробуем найти его корни.

Для поиска корней этого уравнения, мы можем использовать метод деления с остатком (синтетическое деление) или численные методы. Однако заметим, что $x = 1$ является одним из корней этого многочлена, так как $1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 - 2 = 0$.

Теперь у нас есть два корня: $x = 0$ и $x = 1$. Давайте найдем оставшиеся корни, разделив $x^3 + 2x^2 - x - 2$ на $(x - 1)$ с использованием синтетического деления:

markdownCopy code
   1 |  1   2  -1  -2
      +1   3   2   1
----------------------
     1   3   2  -1

Результат деления: $x^2 + 3x + 2 - \frac{1}{x - 1}$.

Теперь мы можем факторизовать $x^2 + 3x + 2$ и решить его:

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

Итак, многочлен $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x$ разлагается на множители следующим образом:

$x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = x(x - 1)(x + 1)(x + 2)$

Теперь мы можем найти все корни уравнения:

1. $x = 0$
2. $x = 1$
3. $x = -1$
4. $x = -2$

Итак, корни уравнения $x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x = 0$ это $x = 0$, $x = 1$, $x = -1$, и $x = -2$.