Question

Решите производную (x+1)^x+1 срочно!

Answer 1

Находим по формуле:

$y' = ( ln(y) )' \times y$

$( ln(y) )' = ( ln( {(x + 1)}^{x + 1} )' = ((x + 1) ln(x + 1) )' = 1 \times ln(x + 1) + \frac{1}{x + 1} \times (x + 1) = ln(x +1 ) +1$

$y' = {(x + 1)}^{x + 1} \times (ln(x + 1)+1)$

Answer 2

Для решения производной функции $f(x) = (x+1)^{x+1}$ нужно воспользоваться правилом дифференцирования степенной функции и цепным правилом (правилом дифференцирования сложной функции).

1. Сначала возьмем натуральный логарифм от функции $f(x)$:

$\ln(f(x)) = \ln((x+1)^{x+1})$

2. Затем используем правило степенной функции $\ln(a^b) = b\ln(a)$:

$\ln(f(x)) = (x+1)\ln(x+1)$

3. Теперь дифференцируем обе стороны уравнения:

$\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{d}{dx}((x+1)\ln(x+1))$

4. Применяем цепное правило для производной сложной функции: $\frac{d}{dx}(u(v(x))) = u'(v(x))v'(x)$, где

$u(v(x)) = (x+1)$ и $v(x) = \ln(x+1)$.

Тогда

$\frac{d}{dx}((x+1)\ln(x+1)) = \frac{d}{dx}(u(v(x))) = u'(v(x))v'(x) = (x+1)'\ln'(x+1) + (x+1)\ln''(x+1)$

5. Теперь найдем производные компонентов:

$(x+1)' = 1$, так как производная $x+1$ равна 1.

$\ln'(x+1) = \frac{1}{x+1}$, так как производная $\ln(x+1)$ равна $\frac{1}{x+1}$.

$\ln''(x+1) = -\frac{1}{(x+1)^2}$, так как вторая производная $\ln(x+1)$ равна $-\frac{1}{(x+1)^2}$.

6. Теперь подставим найденные производные обратно в уравнение:

$\frac{d}{dx}((x+1)\ln(x+1)) = 1 \cdot \frac{1}{x+1} + (x+1) \cdot \left(-\frac{1}{(x+1)^2}\right)$

7. Упростим выражение:

$\frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+1} = 0$

Итак, производная функции $(x+1)^{x+1}$ равна 0.