Question

Решите уравнение sin4x=2cos²x-1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения уравнения sin(4x) = 2cos²x - 1, мы можем использовать тригонометрические тождества для замены sin(4x) и cos²x:

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) cos²x = 1 - sin²x

Теперь у нас есть:

2sin(2x)cos(2x) = 2(1 - sin²x) - 1

Упростим это уравнение:

2sin(2x)cos(2x) = 2 - 2sin²x - 1

2sin(2x)cos(2x) = 1 - 2sin²x

Теперь мы видим, что у нас есть sin(2x)cos(2x) и sin²x. Давайте заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) и sin²x на 1 - cos²x:

2(2sin(x)cos(x))cos(2x) = 1 - 2(1 - cos²x)

Упростим дальше:

4sin(x)cos(x)cos(2x) = 2cos²x

Теперь давайте заменим cos(2x) на 2cos²x - 1:

4sin(x)cos(x)(2cos²x - 1) = 2cos²x

Распределите 4sin(x)cos(x) внутри скобок:

8sin(x)cos(x)cos²x - 4sin(x)cos(x) = 2cos²x

Теперь, если мы заметим, что 8sin(x)cos(x) = 4sin(2x), мы получим:

4sin(2x)cos²x - 4sin(x)cos(x) = 2cos²x

Теперь давайте выразим cos²x через sin²x, используя тождество sin²x + cos²x = 1:

4sin(2x)(1 - sin²x) - 4sin(x)cos(x) = 2(1 - sin²x)

Раскроем скобки:

4sin(2x) - 4sin(2x)sin²x - 4sin(x)cos(x) = 2 - 2sin²x

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x):

4sin(2x)sin²x + 4sin(x)cos(x) - 2sin²x + 4sin(2x) - 2 = 0

Упростим ещё:

2sin(x)(2sin(2x)sin²x + 2cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два возможных решения:

1. sin(x) = 0

2sin(2x)sin²x + 2cos(x) - 1 = 0

Первое уравнение (sin(x) = 0) дает нам x = 0 и x = π (и их кратные), а второе уравнение (2sin(2x)sin²x + 2cos(x) - 1 = 0) можно решить численно, так как нет очевидной аналитической формулы для его решения.