Question

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 50 БАЛЛОВ Один из корней квадратного уравнения x²+bx+4=0, х=3. х²-bх+24=0 равен х=3. Найдите другой корень и коэффициент b.

Answer 1

 $1)\ x^2+bx+4=0\ \ ,\ x_1=3\ \ \to \ \ \ \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-b\\x_1\cdot x_2=4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}3+x_2=-b\\3\cdot x_2=4\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}-b=\dfrac{13}{3}\\x_2=\dfrac{4}{3}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b=-\dfrac{13}{3}\\x_2=\dfrac{4}{3}\end{array}\right\\\\\\x^2-\dfrac{13}{3}\, x+4=0$

 $2)\ \ x^2-bx+24=0\ \ ,\ x_1=3\ \ \to \ \ \ \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=b\\x_1\cdot x_2=24\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}3+x_2=b\\3\cdot x_2=24\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}b=3+8\\x_2=\dfrac{24}{3}=8\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}b=11\\x_2=8\end{array}\right\\\\\\x^2-11\, x+24=0$

Answer 2

Давайте начнем с первого уравнения:

x² + bx + 4 = 0

Вы знаете, что один из корней этого уравнения равен x = 3. Это означает, что (x - 3) должно быть одним из множителей левой стороны уравнения. Давайте разложим уравнение с помощью множителей:

(x - 3)(Ax + B) = 0

где A и B - неизвестные коэффициенты. Теперь раскроем скобки:

Ax² + Bx - 3Ax - 3B = 0

Теперь давайте рассмотрим второе уравнение:

x² - bx + 24 = 0

Вы знаете, что один из корней этого уравнения также равен x = 3. То же самое можно сделать и здесь:

(x - 3)(Cx + D) = 0

где C и D - неизвестные коэффициенты. Раскроем скобки:

Cx² + Dx - 3Cx - 3D = 0

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными каждое. Давайте воспользуемся информацией о корнях для решения системы уравнений.

Первое уравнение: (Ax + B)(x - 3) = 0

Это уравнение имеет два корня, и один из них равен x = 3. Значит, второй корень будет равен x = 3. То есть, Ax + B = 0 и при x = 3:

A*3 + B = 0 3A + B = 0

Второе уравнение: (Cx + D)(x - 3) = 0

Опять же, у нас есть два корня, и один из них равен x = 3. Значит, второй корень будет равен x = 3. То есть, Cx + D = 0 и при x = 3:

C*3 + D = 0 3C + D = 0

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными A, B, C и D:

1. 3A + B = 0
2. 3C + D = 0

Теперь мы знаем, что один из корней второго уравнения равен 3, и это означает, что одно из уравнений вида Cx + D = 0 имеет корень x = 3. Но также мы знаем, что один из корней первого уравнения равен 3. Это означает, что одно из уравнений вида Ax + B = 0 также имеет корень x = 3.

Таким образом, у нас есть два уравнения с корнями x = 3, и они должны быть одинаковыми:

Cx + D = Ax + B

Сравним коэффициенты при x:

C = A D = B

Теперь у нас есть система уравнений:

1. 3A + B = 0
2. 3C + D = 0

Из условия C = A и D = B следует:

1. 3A + B = 0
2. 3A + B = 0

Теперь мы видим, что оба уравнения в системе идентичны, и мы можем решить их:

3A + B = 0

Из первого уравнения следует:

3A = -B

Теперь мы можем подставить это обратно в уравнение:

3A + B = 0

3*(-B) + B = 0

-3B + B = 0

-2B = 0

B = 0

Теперь, когда мы знаем B, мы можем найти A, используя уравнение:

3A = -B

3A = -0

A = 0

Итак, коэффициенты A и B равны 0, и ваши уравнения выглядят следующим образом:

1. 0x + 0 = 0
2. 0x + 0 = 0

Оба уравнения являются тождественными и имеют бесконечно много корней, включая x = 3.