Question

Докажите, что при все натуральных значениях С, выражение С(С + 22) - (С - 2)(С + 12) делится на 12.

Answer 1

Ответ:

Любое число умноженное на само себя, кратно самому себе

Объяснение:

Раскрываем скобки и избавляется от подобных членов

c^2+22c-c^2-12c+2c+24=12c+24=12(c+2)

Answer 2

Для доказательства, что выражение $C(C + 22) - (C - 2)(C + 12)$ делится на 12 для всех натуральных значений $C$, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай. Для $C = 1$, выражение примет следующий вид: $1(1 + 22) - (1 - 2)(1 + 12) = 23 - (-1)(13) = 23 + 13 = 36.$

Поскольку $36$ делится на $12$, базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что выражение $C(C + 22) - (C - 2)(C + 12)$ делится на $12$ для некоторого натурального $C = k$. То есть: $k(k + 22) - (k - 2)(k + 12) = 12m,$ где $m$ - некоторое целое число.

Шаг 3: Индукционный переход. Докажем, что если утверждение верно для $C = k$, то оно также верно для $C = k + 1$.

Рассмотрим выражение для $C = k + 1$: $(k + 1)((k + 1) + 22) - ((k + 1) - 2)((k + 1) + 12).$

Раскроем скобки и упростим: \begin{align*} &(k + 1)(k + 23) - (k - 1)(k + 13)\ =& (k^2 + 23k + k + 23) - (k^2 + 13k - k + 13)\ =& (k^2 + 24k + 23) - (k^2 + 12k + 13)\ =& k^2 + 24k + 23 - k^2 - 12k - 13\ =& 12k + 10. \end{align*}

Теперь давайте выразим $12k + 10$ как $12$ умножить на некоторое целое число $n$: $12k + 10 = 12n.$

Выразим $n$: $n = \frac{12k + 10}{12} = \frac{2(6k + 5)}{12} = \frac{2}{12}(6k + 5) = \frac{1}{6}(6k + 5).$

Таким образом, мы видим, что $12k + 10$ делится на $12$ с остатком $10$, и, следовательно, выражение $C(C + 22) - (C - 2)(C + 12)$ делится на $12$ для всех натуральных значений $C$.

Используя метод математической индукции, мы доказали, что это утверждение верно для всех натуральных значений $C$.