Question

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 18. Найди b4, если b1 – b2 = 8.

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{4}{9}.$

Объяснение:

$S= 18;\\b{_1}-b{_2}= 8$

Воспользуемся следующими формулами

$S= \dfrac{b{_1}}{1-q} ;\\\\b{_n}= b{_1}\cdot q^{n-1}$

и составим систему уравнений.

$\left \{\begin{array}{l} \dfrac{b{_1}}{1-q} =18, \\ b{_1}-b{_1}\cdot q =8;\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} b{_1} =18\cdot(1-q) , \\ b{_1}(1-q )=8;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} b{_1} =18\cdot(1-q) , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} \dfrac{8}{1-q} =18\cdot(1-q) , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l}8 =18\cdot(1-q)^{2} , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} (1-q)^{2} =\dfrac{4}{9} , \\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} \left [\begin{array}{l} 1-q=\dfrac{2}{3} \\ 1-q=-\dfrac{2}{3} \end{array} \right. , \\\\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} ;\end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{\begin{array}{l} \left [\begin{array}{l} q=\dfrac{1}{3} \\ \\ q=\dfrac{5}{3} \end{array} \right. , \\\\ b{_1}=\dfrac{8}{1-q} .\end{array} \right.$

Так как задана бесконечная геометрическая прогрессия , то  |q|<1 и тогда

$q= \dfrac{1}{3}$

Найдем первый член геометрической прогрессии

$b{_1}= \dfrac{8}{1-\dfrac{1}{3} } =\dfrac{8}{\dfrac{2}{3} } =\dfrac{8\cdot3}{2} =\dfrac{24}{2} =12 .$

Найдем четвертый член геометрической прогрессии, воспользовавшись формулой n- го члена

$b{_4}= b{_1}\cdot q^{3} ;\\b{_4}= 12\cdot \left(\dfrac{1}{3}\right ) ^{3}=12\cdot \dfrac{1}{27} =\dfrac{12}{27}= \dfrac{4}{9}.$

Answer 2

Для нахождения b4, четвёртого члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нам нужно знать первый член (b1) и знаменатель (q) этой прогрессии. Для этого у нас есть информация о разнице между первым и вторым членом прогрессии, а также о сумме бесконечной прогрессии.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется следующим образом:

S = a / (1 - q),

где: S - сумма бесконечной прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии (отношение второго члена к первому).

Мы знаем, что S = 18. Теперь мы можем выразить a через q:

18 = a / (1 - q).

Также у нас есть информация о разнице между первым и вторым членом прогрессии:

b1 - b2 = 8.

Мы знаем, что b2 = b1 - 8. Теперь мы можем использовать определение геометрической прогрессии:

b2 = a * q,

где b2 - второй член прогрессии.

Теперь мы можем выразить q через a:

q = b2 / a.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 18 = a / (1 - q).
2. q = b2 / a.

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения a и q, а затем вычислить b4 с помощью формулы для геометрической прогрессии:

b4 = a * q^3.

Сначала решим систему уравнений. Подставим выражение для q из второго уравнения в первое:

18 = a / (1 - (b2 / a)).

Умножим обе стороны на (1 - (b2 / a)):

18 * (1 - (b2 / a)) = a.

Раскроем скобки:

18a - 18b2 = a.

Теперь выразим a:

a = 18b2 / (18 - 1) = 18b2 / 17.

Теперь мы знаем a, и мы можем найти q, используя второе уравнение:

q = b2 / (18b2 / 17) = 17 / 18.

Теперь у нас есть значения a и q. Мы можем найти b4:

b4 = a * q^3 = (18b2 / 17) * ((17 / 18)^3).

Теперь вычислим значение b4:

b4 = (18b2 / 17) * (4913 / 5832) = (18 * 4913b2) / (17 * 5832).

Таким образом, b4 равно (18 * 4913b2) / (17 * 5832).