Question

Докажите неравенство (1+a^2/bc)(1+b^2/ac)(1+c^2/ab)>=8

Answer 1

Решение задания прилагаю

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство.

Исходное неравенство:

(1 + a^2/bc)(1 + b^2/ac)(1 + c^2/ab) >= 8

Сначала развернем левую часть:

(1 + a^2/bc)(1 + b^2/ac)(1 + c^2/ab) = 1 + a^2/bc + b^2/ac + c^2/ab + a^2b^2/(a^2c^2) + b^2c^2/(a^2b^2) + c^2a^2/(b^2c^2) + a^2b^2*c^2/(a^2b^2c^2)

Теперь преобразуем каждый из членов нашего выражения:

1. a^2/bc + b^2/ac + c^2/ab Первые три члена можно сложить, так как у них одинаковый знаменатель (abc): (a^2/bc + b^2/ac + c^2/ab) = (a^3 + b^3 + c^3) / (abc)

2. a^2b^2/(a^2c^2) + b^2c^2/(a^2b^2) + c^2a^2/(b^2c^2) Вторые три члена также можно сложить: (a^2b^2/(a^2c^2) + b^2c^2/(a^2b^2) + c^2a^2/(b^2c^2)) = (b^2/a + c^2/b + a^2/c) / (abc)

3. a^2b^2c^2/(a^2b^2c^2) = 1

Итак, мы развернули левую часть неравенства и получили следующее выражение:

1 + (a^3 + b^3 + c^3) / (abc) + (b^2/a + c^2/b + a^2/c) / (abc) + 1

Теперь объединим все члены:

1 + 1 + (a^3 + b^3 + c^3) / (abc) + (b^2/a + c^2/b + a^2/c) / (abc)

2 + (a^3 + b^3 + c^3) / (abc) + (b^2/a + c^2/b + a^2/c) / (abc)

Поскольку мы хотим доказать, что это выражение больше или равно 8, давайте предположим обратное и попробуем доказать, что это неверно:

2 + (a^3 + b^3 + c^3) / (abc) + (b^2/a + c^2/b + a^2/c) / (abc) < 8

Умножим обе стороны на abc, чтобы избавиться от дробей:

2abc + (a^3 + b^3 + c^3) + (b^2/a + c^2/b + a^2/c) < 8abc

Теперь обратим внимание на каждое слагаемое:

1. 2abc - это положительное число, так как a, b и c положительные.

2. a^3 + b^3 + c^3 - это сумма кубов положительных чисел, и она также положительна.

3. (b^2/a + c^2/b + a^2/c) - это выражение, которое можно сравнить с неравенством средних:

   (b^2/a + c^2/b + a^2/c) >= 3 * ∛(b^2/a * c^2/b * a^2/c) = 3 * ∛(a^2b^2c^2 / (abc)^3) = 3 * ∛(1/abc)

   Так как a, b и c положительные числа, то ∛(1/abc) > 0.

Итак, каждое слагаемое в левой части неравенства положительно. Таким образом, левая часть больше 2abc, которое также положительно. Но 2abc > 8abc, что приводит к противоречию.

Следовательно, исходное неравенство верно:

(1 + a^2/bc)(1 + b^2/ac)(1 + c^2/ab) >= 8.