Question

Sin^4(x)+cos^2(x)*sin^2(x)=1 Найдите все решения уравнения

Answer 1

Ответ:

X=ПИ/4+kz, k принадлежит z

Объяснение:

Упрощение до:

sin(2x)=1

2x=ПИ/2+2kПИ, k принадлежит z | :2

x=ПИ/4+kz, k принадлежит z

Answer 2

Давайте найдем все решения данного уравнения:

sin^4(x) + cos^2(x) * sin^2(x) = 1

Сначала выразим sin^4(x) через cos^2(x) с помощью тригонометрической тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^4(x) = (1 - cos^2(x))^2

Теперь мы можем заменить sin^4(x) в исходном уравнении:

(1 - cos^2(x))^2 + cos^2(x) * sin^2(x) = 1

Раскроем квадрат в левой части:

1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x) + cos^2(x) * sin^2(x) = 1

Теперь выразим cos^2(x) * sin^2(x) через 1 - cos^2(x):

1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x) + (1 - cos^2(x)) = 1

Теперь объединим подобные слагаемые:

1 - 2*cos^2(x) + cos^4(x) + 1 - cos^2(x) = 1

2 - 3*cos^2(x) + cos^4(x) = 1

Переносим все слагаемые на одну сторону:

cos^4(x) - 3*cos^2(x) + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos^2(x). Давайте введем замену, например, t = cos^2(x):

t^2 - 3t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение для t. Можно воспользоваться квадратным уравнением или квадратным корнем:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * 1 = 9 - 4 = 5

t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (3 + sqrt(5)) / 2 t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (3 - sqrt(5)) / 2

Теперь вспомним, что t = cos^2(x), и найдем cos(x):

cos^2(x) = (3 + sqrt(5)) / 2 cos(x) = ±sqrt((3 + sqrt(5)) / 2)

Таким образом, у нас есть два значения для cos(x):

1. cos(x) = sqrt((3 + sqrt(5)) / 2)
2. cos(x) = -sqrt((3 + sqrt(5)) / 2)

Теперь мы можем найти значения sin(x) используя тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1. Для cos(x) = sqrt((3 + sqrt(5)) / 2): sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - (3 + sqrt(5)) / 2) = sqrt(2 - sqrt(5)) / 2

2. Для cos(x) = -sqrt((3 + sqrt(5)) / 2): sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - (3 - sqrt(5)) / 2) = sqrt(sqrt(5) + 1) / 2

Таким образом, у нас есть две пары решений:

1. x = arcsin(sqrt(2 - sqrt(5)) / 2) и x = 2*pi - arcsin(sqrt(2 - sqrt(5)) / 2)
2. x = arcsin(sqrt(sqrt(5) + 1) / 2) и x = 2*pi - arcsin(sqrt(sqrt(5) + 1) / 2)

Где arcsin - арксинус, и мы также учли возможные угловые эквивалентности.