Question

В геометрической прогрессии b4=24, b6=96. Найти b7 и сумму первых восьми членов данной прогрессии ​

Answer 1

Объяснение:

$b_4=24\ \ \ \ b_6=96\ \ \ \ b_7=?\ \ \ \ S_8=?\\\left \{ {{b_4=b_1q^3=24} \atop {b_6=b_1q^5=96}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{b_1q^3=24} \atop {b_1q^5=96}} \right. .$

Разделим второе уравнение на первое:

$q^2=4\\1)\ q=-2\\b_1*(-2)^3=24\\-8*b_1=24\ |:(-8)\\b_1=-3.\\b_7=b_1q^6=-3*(-2)^6=-3*64=-192\\S_8=-3*\frac{(-2)^8-1}{-2-1} =-3*\frac{256-1}{-3} =255.$

$2)\ q=2\\b_12^3=24\\8b_1=24\ |:8\\b_1=3.\\b_7=3*2^6=3*64=192\\S_8=3*\frac{2^6-1}{2-1}=3*\frac{256-1}{1}=3*255=765.$

Ответ: q=-2, b₇=-192, S₈=255;

            q=2, b₇=192, S₈=765.

Answer 2

Для того чтобы найти члены геометрической прогрессии и их сумму, нам нужно знать два важных элемента: первый член прогрессии (b1) и знаменатель прогрессии (q).

Мы знаем, что b4 = 24 и b6 = 96. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти b1 и q.

Сначала найдем q, используя отношение двух известных членов прогрессии:

b6/b4 = 96/24

q^2 = 4

q = ±2

Теперь у нас есть два варианта для знаменателя q: q = 2 и q = -2. Давайте рассмотрим оба варианта.

1. Если q = 2, то мы можем найти первый член прогрессии b1, используя уравнение:

b4 = b1 * q^(4-1)

24 = b1 * 2^3

24 = 8b1

b1 = 24 / 8

b1 = 3

2. Если q = -2, то мы также можем найти первый член прогрессии b1, используя уравнение:

b4 = b1 * q^(4-1)

24 = b1 * (-2)^3

24 = -8b1

b1 = -24 / 8

b1 = -3

Теперь у нас есть два варианта для начального члена прогрессии: b1 = 3 или b1 = -3.

Теперь мы можем найти b7, используя найденное значение q:

1. Если q = 2:

b7 = b1 * q^(7-1) = 3 * 2^6 = 3 * 64 = 192

2. Если q = -2:

b7 = b1 * (-2)^(7-1) = -3 * (-2)^6 = -3 * 64 = -192

Теперь у нас есть два варианта для b7: b7 = 192 или b7 = -192.

Наконец, чтобы найти сумму первых восьми членов прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы n членов геометрической прогрессии:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Где:

• S_n - сумма первых n членов прогрессии
• a - первый член прогрессии
• q - знаменатель прогрессии
• n - количество членов прогрессии

Для нас n = 8, и у нас есть два варианта для a и q:

1. Если a = 3 и q = 2:

S_8 = 3 * (1 - 2^8) / (1 - 2) = 3 * (1 - 256) / (-1) = 3 * (-255) / (-1) = 3 * 255 = 765

2. Если a = -3 и q = -2:

S_8 = -3 * (1 - (-2)^8) / (1 - (-2)) = -3 * (1 - 256) / (3) = -3 * (-255) / 3 = -3 * 255 / 3 = -255

Итак, сумма первых восьми членов данной геометрической прогрессии может быть равна 765 или -255, в зависимости от выбора начального члена и знаменателя.