Question

Назовём высотой натурального числа N наибольшее возможное n, при котором уравнение N=x1x2...xn разрешимо в целых числах xi≥2. Сколько существует чисел максимальной высоты, не превосходящих 1010?

Answer 1

Ответ: существует 6 чисел

Объяснение:

1. Заметим, что никакое число, не превосходящее 1010, не может иметь высоту 4. Действительно, наименьшее число высоты 4 — это

2222=216, при этом это число больше 1010.

 2. Между тем числа высоты 3, не превосходящие 1010, существуют. Например, 16=222 имеет высоту 3. Таким образом, задача свелась к подсчёту количества чисел высоты 3, не превосходящих 1010.

 3. Заметим, что

 29≤1010≤210,

 36≤1010≤37,

 44≤1010≤45,

 54≤1010≤55,

 63≤1010≤64.

 4. Найдём количество чисел высоты 3, не превосходящих 1010. Это то же самое, что найти количество решений неравенства:

x1x2x3≤1010, xi≥2.

Если x1=2, то x2x3≤9, отсюда x2=x3=2, или x2=2, x3=3, или x2=3, x3=2. Отсюда получаем 3 решения.

Далее, если x1=3,4,5, получаем, что x2=x3=2, что даёт ещё три решения.

Наконец, при x1≥6 получаем, что x2x3≤3. Но так как xi≥2, то таких x2, x3 не существует.

 5. Таким образом, получаем 3+3=6 чисел максимальной высоты, не превосходящих 1010.

Answer 2

Для понимания, как найти количество чисел максимальной высоты, не превосходящих 10^10, давайте разберемся с этой задачей.

Перед тем как начать, нам нужно понять, что такое "высота" натурального числа N в контексте данной задачи. Высота числа N определяется как максимальное произведение простых множителей числа N, учитывая, что каждый множитель должен быть больше или равен 2.

Пример: Для числа N = 60, множители это 2, 2, 3, 5. Высота этого числа равна 2 * 2 * 3 * 5 = 60.

Теперь мы можем рассмотреть все числа максимальной высоты, не превосходящие 10^10. Начнем с максимального простого множителя, который равен 2, и будем умножать его на следующие простые числа, пока не достигнем 10^10 или большего числа. После каждого умножения на простое число высота числа увеличивается на этот простой множитель.

1. Начнем с числа 2. Поскольку 2 - это простое число, высота числа увеличивается на 2.
2. Затем умножим на 3. Высота увеличивается на 3.
3. Умножим на 5. Высота увеличивается на 5.
4. Умножим на 7. Высота увеличивается на 7.
5. Умножим на 11. Высота увеличивается на 11.
6. Продолжим этот процесс, пока высота числа не превысит 10^10.

Таким образом, вам нужно найти все числа, которые можно получить, перемножая простые числа из списка (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, и так далее) до тех пор, пока высота не превысит 10^10.

Как только вы найдете такие числа, вы сможете определить количество чисел максимальной высоты, не превосходящих 10^10, путем подсчета их. Так как это может потребовать большого количества вычислений, вам может потребоваться использовать программу или скрипт для выполнения этой задачи.