Question

две строительные бригады, работая вместе, могут выполнить определённую работу за 3 дня. первая бригада, работая одна, выполнит эту работу на 8 дней быстрее чем вторая. за сколько дней может выполнить работу первая бригада, работая одна

Answer 1

Пусть $x$ - количество дней, за которое работу может выполнить первая бригада. У второй это займёт на 8 дней больше, то есть, $x+8$. Работая вместе, они выполнили её за 3 дня. Составляем уравнение:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+8} = \dfrac{1}{3}\\\\\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+8} - \dfrac{1}{3} = 0$

Приводим дроби к общему знаменателю $3x(x+8)$:

$\dfrac{3(x+8)}{3x(x+8)} + \dfrac{3x}{3x(x+8)} - \dfrac{x(x+8)}{3x(x+8)} = 0\\\\\\\dfrac{3(x+8) + 3x - x(x+8)}{3x(x+8)} = 0\\\\\\\dfrac{3x + 24 + 3x - x^2 - 8x}{3x(x + 8)} = 0\\\\\\\dfrac{-x^2 - 2x + 24}{3x(x+8)} = 0\\\\\\\dfrac{-(x^2 + 2x - 24)}{3x(x + 8)} = 0\ \ \ \ \ \Big| \cdot (-1)\\\\\\\dfrac{x^2 + 2x - 24}{3x(x+8)} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. То есть:

$3x(x+8)\neq 0\\\\\begin{equation*}\begin{cases}3x\neq0\\x + 8\neq 0\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \Leftrightarrow\ \begin{equation*}\begin{cases}x\neq 0\\x \neq -8\end{cases}\end{equation*}$

Приравниваем числитель к нулю:

$x^2 + 2x - 24 = 0$

По теореме Виета:

$\begin{equation*}\begin{cases}x_{1}x_{2} = -24\\x_{1} + x_{2} = -2\end{cases}\end{equation*}\ \ \ \ \ \Big| x = -6; x = 4\ \ \ \Rightarrow\ \boxed{\bf{x = 4}}$

-6 не подходит, поскольку количество дней не может быть отрицательным числом. Поэтому получаем, что первая бригада может выполнить работу за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Answer 2

Давайте обозначим следующие переменные:

Пусть "X" - это количество дней, которое первая бригада требуется для выполнения работы, работая одна.

Из условия известно, что первая и вторая бригады, работая вместе, могут выполнить работу за 3 дня. Это означает, что первая бригада может выполнить 1/3 работы за 1 день, и вторая бригада тоже может выполнить 1/3 работы за 1 день.

Далее, известно, что первая бригада, работая одна, выполнит эту работу на 8 дней быстрее, чем вторая бригада. Это означает, что первая бригада может выполнить работу за (X + 8) дней, а вторая бригада может выполнить ту же работу за (X + 8 + 8) = (X + 16) дней.

Теперь мы можем установить, какую часть работы каждая бригада выполняет за один день:

• Первая бригада работает со скоростью 1/(X + 8) работы в день.
• Вторая бригада работает со скоростью 1/(X + 16) работы в день.

Если они работают вместе, их скорости складываются:

1/(X + 8) + 1/(X + 16) = 1/3

Теперь мы можем решить этое уравнение:

1/(X + 8) + 1/(X + 16) = 1/3

Умножим обе стороны на 3(X + 8)(X + 16), чтобы избавиться от дробей:

3(X + 16) + 3(X + 8) = (X + 8)(X + 16)

Раскроем скобки:

3X + 48 + 3X + 24 = X^2 + 24X + 128

Упростим:

6X + 72 = X^2 + 24X + 128

Теперь перенесем все члены уравнения на одну сторону:

X^2 + 24X + 128 - 6X - 72 = 0

X^2 + 18X + 56 = 0

Теперь давайте попробуем решить это квадратное уравнение. Мы можем разложить его на множители или использовать квадратное уравнение. Уравнение имеет вид:

X^2 + 18X + 56 = 0

(X + 14)(X + 4) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для X:

1. X + 14 = 0 => X = -14 (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте).
2. X + 4 = 0 => X = -4

Исключив отрицательное значение, получаем:

X = 4

Итак, первая бригада, работая одна, может выполнить работу за 4 дня.