Question

Обчисліть sin²195+sin²75 даю 50 балов

Answer 1

Ответ:

$sin^2195+sin^275=sin^2(180+15)+sin^2(90-15)=sin^215+sin^215=\\\\=2sin^215=2\cdot sin^2(45-30)=2\cdot (sin45\cdot cos30-cos45\cdot sin30)^2=\\\\=2\cdot \Big(\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\Big)^2=2\cdot \dfrac{(\sqrt6-\sqrt2)^2}{4^2}=\dfrac{8-2\sqrt{12}}{8}=\dfrac{4-2\sqrt3}{4}$

Answer 2

Спробуємо обчислити вираз sin²(195) + sin²(75):

sin(195) = sin(180 + 15) = -sin(15), оскільки sin(180 + θ) = -sin(θ).

Також відомо, що sin(15) = sin(45 - 30) = sin(45)cos(30) - cos(45)sin(30) = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2) / 4.

Тепер ми можемо обчислити sin²(195):

sin²(195) = (-sin(15))² = ((√6 - √2) / 4)² = (6 - 2√12 + 2) / 16 = (8 - 2√12) / 16 = (4 - √3) / 8.

Тепер обчислимо sin²(75):

sin(75) = sin(45 + 30) = sin(45)cos(30) + cos(45)sin(30) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2) / 4.

sin²(75) = ((√6 + √2) / 4)² = (6 + 2√12 + 2) / 16 = (8 + 2√12) / 16 = (4 + √3) / 8.

Тепер ми можемо обчислити суму sin²(195) + sin²(75):

(sin²(195) + sin²(75)) = ((4 - √3) / 8) + ((4 + √3) / 8) = (4 - √3 + 4 + √3) / 8 = 8 / 8 = 1.

Отже, sin²(195) + sin²(75) дорівнює 1.