Question

Докажите, что для любых положительных чисел Х и У справедливо неравенство: x/x+5y + y/y+5x <= 1

Answer 1

хз. попробуйте решить неравенство и опрелелить.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться неравенством Коши-Буняковского-Шварца (неравенство CBS). Для начала, преобразуем данное неравенство:

x/(x + 5y) + y/(y + 5x) ≤ 1

Теперь применим неравенство CBS:

(a1/b1 + a2/b2) ≥ (a1 + a2)² / (b1 + b2)

где a1 = x, b1 = (x + 5y) a2 = y, b2 = (y + 5x)

Применяя неравенство CBS, получим:

(x/(x + 5y) + y/(y + 5x)) ≥ (x + y)² / (x(x + 5y) + y(y + 5x))

Теперь давайте упростим выражение в числителе и знаменателе:

(x + y)² = x² + 2xy + y² x(x + 5y) + y(y + 5x) = x² + 5xy + y²

Теперь подставим эти значения обратно в неравенство CBS:

(x/(x + 5y) + y/(y + 5x)) ≥ (x² + 2xy + y²) / (x² + 5xy + y²)

Теперь мы видим, что числитель и знаменатель имеют одинаковые члены (x², y² и 2xy), и мы можем сократить их:

(x/(x + 5y) + y/(y + 5x)) ≥ 1

Таким образом, мы доказали, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство:

x/(x + 5y) + y/(y + 5x) ≥ 1

Из этого следует, что исходное неравенство x/(x + 5y) + y/(y + 5x) ≤ 1 также справедливо.