Question

Доказать, что для любых положительных чисел справедливо неравенство

Answer 1

Доказать справедливость неравенства для любых положительных чисел:

$(a_1+a_2+...+a_n)\cdot \left(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_n}\right)\geq n^2$

Рассмотрим неравенство.

Слева - произведение двух скобок, в каждой из которых по  $n$  слагаемых. Если эти скобки перемножить, то получится сумма, состоящая из  $n^2$  слагаемых.

Перемножим скобки и сгруппируем слагаемые:

$(a_1+a_2+...+a_n)\cdot \left(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_n}\right)=\\\\\\=\dfrac{a_1}{a_1}+\dfrac{a_1}{a_2}+...+\dfrac{a_1}{a_n}+\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{a_2}{a_2}+...+\dfrac{a_2}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}+\dfrac{a_n}{a_2}+...+\dfrac{a_n}{a_n}=$

$=\left(\dfrac{a_1}{a_1}+\dfrac{a_2}{a_2}+...+\dfrac{a_n}{a_n}\right)+\left(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_1}\right)+...+\left(\dfrac{a_1}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}\right)+\\\\\\+\left(\dfrac{a_2}{a_3}+\dfrac{a_3}{a_2}\right)+...+\left(\dfrac{a_2}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_2}\right)+...+\left(\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right)$

Сумма $n$ слагаемых в первых скобках равна сумме $n$ единиц:

$\left(\dfrac{a_1}{a_1}+\dfrac{a_2}{a_2}+...+\dfrac{a_n}{a_n}\right) = \underbrace{1 + 1 + ...+1}_n=n$

Осталось  $n^2-n$  слагаемых, которые сгруппированы попарно. В каждых скобках сумма двух взаимно обратных чисел.

Теорема: сумма двух положительных и взаимно обратных чисел всегда больше либо равна 2.

$\dfrac{a_k}{a_j}+\dfrac{a_j}{a_k}\geq 2$

Таким образом, каждая пара оставшихся слагаемых больше либо равна 2, и таких пар  $\dfrac{n^2-n}2$ .

$\underbrace{\left(\dfrac{a_1}{a_1}+\dfrac{a_2}{a_2}+...+\dfrac{a_n}{a_n}\right)}_{=n}+\underbrace{\left(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_1}\right)}_{\ge2}+...+\underbrace{\left(\dfrac{a_1}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}\right)}_{\ge2}+\\\\\\+\underbrace{\left(\dfrac{a_2}{a_3}+\dfrac{a_3}{a_2}\right)}_{\ge2}+...+\underbrace{\left(\dfrac{a_2}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_2}\right)}_{\ge2}+...+\underbrace{\left(\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right)}_{\ge2}\boldsymbol{\geq}$

$\boldsymbol{\geq} n+\underbrace{2+2+...+2}_{\left(\frac{n^2-n}2\right)}=n+2\cdot \dfrac{n^2-n}2=n+n^2-n=n^2\\\blacksquare$
Доказано неравенство:

$(a_1+a_2+...+a_n)\cdot \left(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+...+\dfrac1{a_n}\right)\geq n^2$

Answer 2

Proving the Inequality for Any Positive Numbers

To prove the inequality for any positive numbers, we can use the following approach:

Given Inequality: The inequality to be proved is not explicitly mentioned in the prompt. However, based on the context, it seems to be related to mathematical inequalities involving positive numbers.

Approach: We can use mathematical properties and operations to prove the inequality for any positive numbers.

Code Snippet for Sign and Absolute Value: The provided code snippet seems to be related to obtaining the sign and absolute value of an integer. While it may not directly relate to the given inequality, it provides insight into handling positive and negative numbers in programming.

int32 getSign(x: int32):
    if x != 0:
        mask = 1
    else:
        mask = 0
    return mask | (x >> 31)  # Returns -1, 0, or +1 based on the sign of x

int32 abs1(x: int32):
    mask = x >> 31
    return (x + mask) XOR mask

int32 abs2(x: int32):
    mask = x >> 31
    return (x + mask) XOR mask

The provided code snippet demonstrates functions for obtaining the sign and absolute value of an integer in a programming context.

Conclusion

While the specific inequality to be proved is not explicitly mentioned, the provided code snippet offers insights into handling positive and negative numbers in programming. If there are specific mathematical inequalities or concepts related to positive numbers that you would like to explore further, please feel free to provide additional details for a more targeted discussion.