Question

Найди уравнение касательной к графику функции f(x)=x+9/9−x в точке с абсциссой x0=1.

Answer 1

Ответ: y=9x/32 +31/32

Объяснение:

уравнение касательной: y=f(xo)+f'(xo)*(x-xo)

f(1)=1+9/9-1=10/8

f'(x)=((1*(9-x)-(x+9)*(-1))/(9-x)^2 =(9-x+x+9)/(9-x)^2=18/(9-x)^2,  ( ^ -знак степени)

f'(1)=18/(9-1)^2 =18/64=9/32

y=10/8 +9/32*(x-1)=40/32+9/32x-9/32=9/32 *x +31/32

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой x₀, мы можем воспользоваться производной функции f(x) и формулой для уравнения касательной:

1. Найдем производную функции f(x):

f(x) = x + 9/(9 - x)

Для нахождения производной, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Сначала найдем производную числителя и знаменателя:

Числитель: d/dx(x) = 1 Знаменатель: d/dx(9 - x) = -1

Теперь применим правило деления производных:

[f'(x)] = (1 * (9 - x) - x * (-1)) / (9 - x)^2

[f'(x)] = (9 - x + x) / (9 - x)^2 [f'(x)] = 9 / (9 - x)^2

2. Теперь найдем производную в точке x₀ = 1:

[f'(1)] = 9 / (9 - 1)^2 [f'(1)] = 9 / 8^2 [f'(1)] = 9 / 64

3. Теперь у нас есть значение производной f'(1) в точке x₀ = 1. Теперь мы можем использовать формулу уравнения касательной:

y - y₀ = f'(x₀) * (x - x₀)

где (x₀, y₀) - координаты точки, в которой мы находим касательную. В нашем случае, x₀ = 1, y₀ = f(1), а f'(1) мы уже вычислили.

y - f(1) = (9/64) * (x - 1)

Теперь у нас есть уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ = 1:

y - f(1) = (9/64) * (x - 1)

Для получения окончательного ответа, вычислим f(1):

f(1) = 1 + 9/(9 - 1) f(1) = 1 + 9/8 f(1) = 17/8

Итак, окончательное уравнение касательной:

y - 17/8 = (9/64) * (x - 1)

Или, можно умножить обе стороны на 64, чтобы избавиться от дробей:

64y - 17 * 8 = 9(x - 1)

64y - 136 = 9x - 9

9x - 64y = 127

Это уравнение представляет собой касательную к графику функции f(x) = x + 9/(9 - x) в точке с абсциссой x₀ = 1.