Question

Решите уравнение: 2sin²x=1

Answer 1

$2sin^2x=1\\\\\boxed{\ cos2x=1-2sin^2x\ \ \to \ \ \ 2sin^2x=1-cos2x\ }\ \ \ (formyla),\\\\1-\cos2x=1\ \ ,\ \ cos2x=0\ \ \ \to \ \ \ 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\\boxed {\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ ,\ n\ \in Z\ }\ \ \ \ (otvet)$

P.S.  Чтобы не заниматься сведением двух ответов в один, полезно помнить формулы для   $sin^2x$   и для   $cos^2x$  .    $(2cos^2x=1+cos2x)$

Answer 2

Давайте решим уравнение $2\sin^2(x) = 1$.

Сначала поделим обе части уравнения на 2:

$\sin^2(x) = \frac{1}{2}$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, помни, что $\sin(x)$ принимает значения от -1 до 1:

$\sin(x) = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, у нас есть две возможные ситуации:

1. $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь найдем все углы $x$ в интервале от 0 до $2\pi$ (или от 0 до $360^\circ$), где синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ или $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. Когда $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, угол $x$ может быть $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан:

$x_1 = 45^\circ$ $x_2 = \frac{\pi}{4}$

2. Когда $\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, угол $x$ может быть $225^\circ$ или $\frac{5\pi}{4}$ радиан:

$x_3 = 225^\circ$ $x_4 = \frac{5\pi}{4}$

Таким образом, у нас есть четыре решения в интервале от 0 до $2\pi$ для уравнения $2\sin^2(x) = 1$:

$x = 45^\circ, \frac{\pi}{4}, 225^\circ, \frac{5\pi}{4}$