Question

Найти сумму 1/(1×3)+1/(3×5)+...+1/((2n-1)×(2n+1))​

Answer 1

Воспользуемся формулой, проверяемой непосредственно:

$\frac{1}{n\cdot (n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right).$

$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=$

$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}.$

Замечание. Этот метод работает, если заменить числа в знаменателях на элементы арифметической прогрессии.

Answer 2

Для нахождения суммы данного ряда используется метод частичных сумм (суммирования). Давайте выразим общий член ряда в более удобной форме:

1/((2n-1)×(2n+1)) = 1/[(2n-1)*(2n+1)] = [1/2n-1 - 1/2n+1]

Теперь мы можем выразить сумму ряда как разницу суммы двух бесконечных геометрических рядов:

S = [1/1×3 - 1/3×5] + [1/3×5 - 1/5×7] + ... + [1/((2n-1)×(2n+1)) - 1/((2n+1)×(2n+3))] + ...

Теперь объединим соответствующие члены ряда и упростим его:

S = (1/1×3) - (1/2×4) + (1/3×5) - (1/4×6) + ... + (1/((2n-1)×(2n+1))) - (1/((2n)×(2n+2))) + ...

Обратите внимание, что множители вида 2n и 2n+2 можно объединить в один множитель 2(n+1), аналогично для множителей вида 2n-1 и 2n+1:

S = (1/1×3) - (1/2×4) + (1/3×5) - (1/4×6) + ... + (1/((2n-1)×(2n+1))) - (1/((2n)×(2n+2))) + ...

= (1/1×3 - 1/2×4) + (1/3×5 - 1/4×6) + ... + (1/((2n-1)×(2n+1) - 1/((2n)×(2n+2))))

Теперь сгруппируем члены и упростим их:

S = [(1/1×3 - 1/2×4) + (1/3×5 - 1/4×6) + ... + (1/((2n-1)×(2n+1) - 1/((2n)×(2n+2))]

= [(1/1 - 1/2) - (1/2 - 1/3)] + [(1/3 - 1/4) - (1/4 - 1/5)] + ... + [(1/((2n-1)) - 1/((2n-1)+1)) - (1/((2n+1)) - 1/((2n+1)+1))]

= (1 - 1/2) - (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) - (1/4 - 1/5) + ... + (1/((2n-1)) - 1/((2n-1)+1)) - (1/((2n+1)) - 1/((2n+1)+1))

Теперь заметим, что большинство членов упрощаются и остается только первый и последний член:

S = 1 - 1/(2n+1)

Таким образом, сумма данного ряда равна:

S = 1 - 1/(2n+1)