Question

Найдите промежутки выпуклости и вогнутости функции у=-27х+х³​

Answer 1

Ответ:

(-∞; 0) – выпуклый

(0; +∞) – вогнутый

Объяснение:

Чтобы найти промежутки выпуклости и вогнутости функции, необходимо взять её вторую производную и приравнять полученное значение к нулю:

y = -27x + x³

y' = -27 + 3x² – первая производная

y'' = 6x – вторая производная (произв. от предыдущей произв.)

Если y'' = 0, то 6x = 0 => x=0

Получаем интервалы (-∞; 0) и (0; +∞).

Подставляем в 6x числа, принадлежащие этим интервалам:

при x = -1 => -6<0 => на промежутке (-∞; 0) график функции выпуклый;

при х = 1 => 6>0 => на промежутке (0; +∞) график функции вогнутый.

т. 0 – точка перегиба.

Answer 2

Для нахождения промежутков выпуклости и вогнутости функции $y = -27x + x^3$, мы должны найти вторую производную этой функции и исследовать её знак.

1. Найдем первую производную функции $y = -27x + x^3$:

$y' = \frac{d}{dx} (-27x + x^3) = -27 + 3x^2$

2. Теперь найдем вторую производную функции:

$y'' = \frac{d}{dx} (-27 + 3x^2) = 6x$

3. Теперь исследуем знак второй производной $y'' = 6x$:

• Если $y'' > 0$, то функция выпуклая.
• Если $y'' < 0$, то функция вогнутая.

Теперь найдем точки, в которых $y'' = 0$:

$6x = 0$ $x = 0$

Значит, $y''$ меняет знак в точке $x = 0$.

Теперь рассмотрим интервалы:

• Если $x < 0$, то $y'' < 0$, и функция вогнута на этом интервале.
• Если $x > 0$, то $y'' > 0$, и функция выпуклая на этом интервале.

Итак, промежутки выпуклости и вогнутости функции $y = -27x + x^3$ следующие:

• Функция вогнута на интервале $(-\infty, 0)$.
• Функция выпукла на интервале $(0, +\infty)$.

Помимо этого, точка $x = 0$ является точкой перегиба, где функция меняет свой характер с вогнутого на выпуклый или наоборот.