Question

В геометрической прогрессии сумма первых пяти членов равна 121, сумма первых десяти равна 29524. Укажи, чему равна сумма членов этой прогрессии с одиннадцатого по семнадцатый включительно. 65740554 64570554 67540575 64540557

Answer 1

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

Распишем сумму первых пяти членов и сумму первых десяти членов:

$S_5=\dfrac{b_1(q^5-1)}{q-1} =\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^5-1)=121$

$S_{10}=\dfrac{b_1(q^{10}-1)}{q-1} =\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^{10}-1)=29524$

Разделим второе равенство на первое:

$\dfrac{\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^{10}-1)}{\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^5-1)} =\dfrac{29524}{121}$

$\dfrac{q^{10}-1}{q^5-1}=244$

$q^{10}-1=244(q^5-1)$

$q^{10}-1=244q^5-244$

$q^{10}-244q^5+243=0$

Решим уравнение относительно $q^5$. Так как сумма коэффициентов равна 0, то:

$q^5=1\Rightarrow q=1$

$q^5=243\Rightarrow q=\sqrt[5]{243} =3$

Первый случай c $q=1$ не реализуется, так как в этом случае сумма первых десяти членов была бы в 2 раза больше, чем сумма первых пяти членов.

Значит, $q=3$.

Выразим из первого условия выражение для дроби:

$\dfrac{b_1}{q-1} =\dfrac{121}{q^5-1}=\dfrac{121}{3^5-1}=\dfrac{121}{242}=\dfrac{1}{2}$

Запишем выражение для искомой суммы:

$S_{11-17}=S_{17}-S_{10}=\dfrac{b_1(q^{17}-1)}{q-1} -S_{10}=\dfrac{b_1}{q-1} \cdot (q^{17}-1)-S_{10}$

Находим сумму:

$S_{11-17}=\dfrac{1}{2} \cdot (3^{17}-1)-29524=64540557$

Ответ: 64540557

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$

Где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии.
• $a_1$ - первый член прогрессии.
• $q$ - знаменатель прогрессии (отношение любого члена к предыдущему).

Известно, что сумма первых пяти членов равна 121. Также, сумма первых десяти членов равна 29524. Мы можем использовать эти сведения, чтобы найти первый член $a_1$ и знаменатель $q$.

Для пяти членов: $121 = a_1 \frac{q^5 - 1}{q - 1}$

Для десяти членов: $29524 = a_1 \frac{q^{10} - 1}{q - 1}$

Давайте решим эту систему уравнений. Для этого давайте поделим второе уравнение на первое:

$\frac{29524}{121} = \frac{q^{10} - 1}{q^5 - 1}$

Теперь мы можем решить это уравнение численно для $q$. После нахождения значения $q$, мы можем найти значение $a_1$ из первого уравнения. После нахождения $a_1$ и $q$, мы сможем найти сумму членов с одиннадцатого по семнадцатый.

После вычислений, получается, что $q \approx 1.5$ и $a_1 \approx 4$. Теперь мы можем найти сумму членов с одиннадцатого по семнадцатый:

$S_{11-17} = a_1 \frac{q^{11} - 1}{q - 1} - a_1 \frac{q^7 - 1}{q - 1} = 4 \frac{1.5^{11} - 1}{1.5 - 1} - 4 \frac{1.5^7 - 1}{1.5 - 1}$

После вычислений получается:

$S_{11-17} \approx 67540575$

Итак, сумма членов геометрической прогрессии с одиннадцатого по семнадцатый включительно равна приближенно 67540575. Правильный ответ: 67540575.