Question

Найдите промежутки выпуклости и выгнутости y=2X4-4X3+1

Answer 1

Ответ: см фото.

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти промежутки выпуклости и выгнутости функции $y = 2x^4 - 4x^3 + 1$, мы начнем с вычисления второй производной этой функции, так как промежутки выпуклости и выгнутости определяются знаком второй производной.

1. Найдем первую производную функции: $y' = \frac{d}{dx} (2x^4 - 4x^3 + 1) = 8x^3 - 12x^2.$

2. Теперь найдем вторую производную: $y'' = \frac{d}{dx} (8x^3 - 12x^2) = 24x^2 - 24x.$

Промежутки выпуклости и выгнутости будут определяться значениями второй производной $y''$. Для этого нам нужно найти значения $x$, при которых $y''$ равно нулю, и затем анализировать знаки $y''$ между этими точками.

Находим точки, где $y'' = 0$: $24x^2 - 24x = 0$ $24x(x - 1) = 0$

Из этого уравнения получаем две критические точки: $x = 0$ и $x = 1$.

Теперь анализируем знаки $y''$ в интервалах между и за пределами этих критических точек:

1. Для $x < 0$, возьмем $x = -1$ (за пределами критических точек): $y''(-1) = 24(-1)^2 - 24(-1) = 24 + 24 = 48 > 0.$ Значит, функция выпукла в интервале $(-\infty, 0)$.

2. Между критическими точками ($0 < x < 1$): Выберем $x = 0.5$ (между $0$ и $1$): $y''(0.5) = 24(0.5)^2 - 24(0.5) = 6 - 12 = -6 < 0.$ Значит, функция выгнута в интервале $(0, 1)$.

3. Для $x > 1$, возьмем $x = 2$ (за пределами критических точек): $y''(2) = 24(2)^2 - 24(2) = 96 - 48 = 48 > 0.$ Значит, функция выпукла в интервале $(1, \infty)$.

Итак, промежутки выпуклости и выгнутости функции $y = 2x^4 - 4x^3 + 1$ следующие:

• Функция выпукла на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.
• Функция выгнута на интервале $(0, 1)$.