Question

Решите неравенство:1) (x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0;2) x(x - 3)(x + 2) < 0. ​

Answer 1

Ответ:

1) ( -5<x^x<-1)v(2<x^x< "тут знак безеонечности поставь"

2) ( - "знак безеонечности" <x^x<-2)v(0<x^x<3)

Answer 2

Для решения этих неравенств, нам нужно определить интервалы, на которых выражение больше нуля (в случае первого неравенства) или меньше нуля (в случае второго неравенства). Мы можем использовать метод интервалов знакопеременности (метод знаков):

1. (x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0:

Для начала, найдем корни этого уравнения:

x + 1 = 0 => x = -1 x - 2 = 0 => x = 2 x + 5 = 0 => x = -5

Эти корни делят весь числовой промежуток на четыре интервала:

1. x < -5
2. -5 < x < -1
3. -1 < x < 2
4. x > 2

Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения на этих точках. Например:

1. Пусть x = -6: (-6 + 1)(-6 - 2)(-6 + 5) = (-5)(-8)(-1) = 40 (положительное)

2. Пусть x = -3: (-3 + 1)(-3 - 2)(-3 + 5) = (-2)(-5)(2) = 20 (положительное)

3. Пусть x = 0: (0 + 1)(0 - 2)(0 + 5) = (1)(-2)(5) = -10 (отрицательное)

4. Пусть x = 3: (3 + 1)(3 - 2)(3 + 5) = (4)(1)(8) = 32 (положительное)

Теперь мы видим, что выражение положительное на интервалах (-5 < x < -1) и (x > 2). Таким образом, решение неравенства (x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0 это:

x ∈ (-5, -1) ∪ (2, +∞).

2. x(x - 3)(x + 2) < 0:

Снова найдем корни уравнения:

x = 0 x - 3 = 0 => x = 3 x + 2 = 0 => x = -2

Эти корни делят числовой промежуток на следующие интервалы:

1. x < -2
2. -2 < x < 0
3. 0 < x < 3
4. x > 3

Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения на этих точках:

1. Пусть x = -3: (-3)(-3 - 3)(-3 + 2) = (3)(-6)(-1) = 18 (положительное)

2. Пусть x = -1: (-1)(-1 - 3)(-1 + 2) = (-1)(-4)(1) = 4 (положительное)

3. Пусть x = 1: (1)(1 - 3)(1 + 2) = (1)(-2)(3) = -6 (отрицательное)

4. Пусть x = 4: (4)(4 - 3)(4 + 2) = (4)(1)(6) = 24 (положительное)

Таким образом, выражение отрицательное на интервалах (-2 < x < 0) и (0 < x < 3). Решение неравенства x(x - 3)(x + 2) < 0 это:

x ∈ (-2, 0) ∪ (0, 3).