Question

Производная функции f(x)=2-(1+2x) ^-4

Answer 1

f(x)=2 - (1+2x)⁻⁴

f'(x)= -(-4)*(1+2x)⁻⁴⁻¹ * 2= 8(1+2x)⁻⁵.

Answer 2

Чтобы найти производную функции $f(x) = 2 - (1 + 2x)^{-4}$, давайте воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции и правилом дифференцирования константы.

Правило дифференцирования степенной функции гласит:

$$\frac{d}{dx}\left(u^n\right) = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx},$$

где $u$ - это функция внутри степени, $n$ - показатель степени, $\frac{du}{dx}$ - производная функции $u$ по переменной $x$.

Применим это правило к вашей функции:

$$\begin{align*} f(x) &= 2 - (1 + 2x)^{-4}\\ &= 2 - (1 + 2x)^{-4 \cdot 1}\\ &= 2 - (1 + 2x)^{-4}\\ &= 2 - \left(1 + 2x\right)^{-4}\\ &= 2 - \frac{1}{(1 + 2x)^4}. \end{align*}$$

Теперь мы можем найти производную:

$$\begin{align*} \frac{d}{dx}f(x) &= \frac{d}{dx}\left(2 - \frac{1}{(1 + 2x)^4}\right)\\ &= 0 - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(1 + 2x)^4}\right). \end{align*}$$

Для вычисления производной второго слагаемого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(1 + 2x)^4}\right) = -4 \cdot \frac{1}{(1 + 2x)^{4-1}} \cdot \frac{d}{dx}(1 + 2x).$$

Теперь найдем производную $1 + 2x$:

$$\frac{d}{dx}(1 + 2x) = 2.$$

Теперь подставим это значение в выражение для производной второго слагаемого:

$$-4 \cdot \frac{1}{(1 + 2x)^{4-1}} \cdot 2 = -8 \cdot \frac{1}{(1 + 2x)^3}.$$

Теперь у нас есть выражение для производной функции $f(x)$:

$$\frac{d}{dx}f(x) = -8 \cdot \frac{1}{(1 + 2x)^3}.$$

Это и есть производная функции $f(x)$.