Question

Найти dx/dy и d^2/dx^2 для функций: a)y=x/x^2-1 б)y=cos(t/2) (в задании именно так и было написано) в)y=t - sin t

Answer 1

Смотри фото выше

........

Answer 2

Давайте посчитаем производные для каждой из данных функций:

a) y = x / (x^2 - 1)

Чтобы найти производную функции y по x, используем правило деления и правило дифференцирования квадратного корня:

y = x / (x^2 - 1)

dy/dx = (x^2 - 1)' / (x^2 - 1)^2 - (x)' / (x^2 - 1)^2

dy/dx = (2x) / (x^2 - 1)^2 - 1 / (x^2 - 1)^2

Теперь выразим вторую производную:

d^2y/dx^2 = [(2x)'(x^2 - 1)^2 - 2x(2(x^2 - 1)(2x))] / (x^2 - 1)^4

d^2y/dx^2 = (2(x^2 - 1)^2 - 4x^2(x^2 - 1)) / (x^2 - 1)^4

d^2y/dx^2 = [2(x^4 - 2x^2 + 1) - 4x^4(x^2 - 1)] / (x^2 - 1)^4

d^2y/dx^2 = [2x^4 - 4x^2 + 2 - 4x^6 + 4x^4] / (x^2 - 1)^4

d^2y/dx^2 = (-4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 2) / (x^2 - 1)^4

b) y = cos(t/2)

Чтобы найти производные для этой функции, нужно использовать цепное правило, так как у нас есть функция cos от t/2:

dy/dt = -sin(t/2) * (1/2)

d^2y/dt^2 = (-1/2) * (-sin(t/2)) * (1/2) = (1/4) * sin(t/2)

c) y = t - sin(t)

Чтобы найти производные для этой функции, используем правила дифференцирования:

dy/dt = 1 - cos(t)

d^2y/dt^2 = sin(t)

Таким образом, получаем следующие производные:

a) dy/dx = (2x) / (x^2 - 1)^2 - 1 / (x^2 - 1)^2 d^2y/dx^2 = (-4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 2) / (x^2 - 1)^4

b) dy/dt = -sin(t/2) * (1/2) d^2y/dt^2 = (1/4) * sin(t/2)

c) dy/dt = 1 - cos(t) d^2y/dt^2 = sin(t)