Question

Y=(x^(2)-2)/(x+y) Нахождение производной функции

Answer 1

Ответ:

$y=\dfrac{x^2-2}{x+y} \ \ ,\ \ \ \ \ \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\\\\\\y'=\dfrac{2x\, (x+y)-(x^2-2)\cdot (1+y')}{(x+y)^2}\\\\\\(x+y)^2\cdot y'=2x(x+y)-(x^2-2)\cdot (1+y')\\\\y'\cdot \Big((x+y)^2+(x^2-2)\Big)=2x(x+y)-(x^2-2)\\\\\\y'=\dfrac{2x^2+2xy-x^2+2}{2x^2+2xy+y^2-2}$

Answer 2

Для нахождения производной функции Y(x) = (x^2 - 2) / (x + y) по переменной x, мы можем использовать правило дифференцирования частного и правило дифференцирования составной функции.

Сначала выразим функцию Y(x) в более подходящем виде:

Y(x) = (x^2 - 2) / (x + y)

Теперь дифференцируем это выражение:

d/dx [Y(x)] = d/dx [(x^2 - 2) / (x + y)]

Используем правило дифференцирования частного:

d/dx [Y(x)] = [(x + y) * (d/dx [x^2 - 2]) - (x^2 - 2) * (d/dx [x + y])] / (x + y)^2

Теперь найдем производные компонентов:

1. d/dx [x^2 - 2] = 2x
2. d/dx [x + y] = 1 (поскольку y - это константа по отношению к x)

Теперь подставим эти производные обратно в нашу формулу:

d/dx [Y(x)] = [(x + y) * (2x) - (x^2 - 2) * (1)] / (x + y)^2

Упростим это выражение:

d/dx [Y(x)] = [2x(x + y) - (x^2 - 2)] / (x + y)^2

Таким образом, производная функции Y(x) по переменной x равна:

d/dx [Y(x)] = [2x(x + y) - x^2 + 2] / (x + y)^2