Question

Помогите, пожалуйста! { 3x^2 - 2xy - y^2 = 7 { x^2 + xy + 8y^2 = 14 Я дошёл до x^2 + 3y^2 = 7, но не понимаю, как решать дальше. В результате должно получиться (2; 1), (-2; -1), (-√7/2; √7/2), (√7/2; -√7/2). Спасибо.

Answer 1

{ 3x^2 - 2xy - y^2 = 7  |*2

{ x^2 + xy + 8y^2 = 14

----------

6x^2 - 4xy - 2y^2 = 14

6x^2 - 4xy - 2y^2= x^2 + xy + 8y^2

5x^2 - 5xy - 10y^2= 0

x^2 - xy - 2y^2= 0

D = y^2 + 8y^2 = 9y^2

x12  = (y +- 3y)/2= -y   2y

(x + y)(x - 2y) = 0

1 . x = -y

y^2 - y^2 + 8y^2 = 14

y^2 = 7/4

y1 = √7/2  x1 = -√7/2

y2 = -√7/2  x2 = √7/2

2. x = 2y

4y^2 + 2y^2 + 8y^2 = 14

y^2 = 1

y3 = 1 x3 = 2

y4 = -1 x4=-2

Answer 2

Давайте решим эту систему уравнений методом подстановки. У вас есть два уравнения:

1. $3x^2 - 2xy - y^2 = 7$
2. $x^2 + xy + 8y^2 = 14$

Первым шагом давайте избавимся от переменной $x$ в одном из уравнений. Вы можете выразить $x$ из первого уравнения:

$3x^2 - 2xy - y^2 = 7$

$3x^2 = 2xy + y^2 + 7$

$x = \frac{2y + y^2 + 7}{3}$

Теперь мы можем подставить это выражение для $x$ во второе уравнение:

$x^2 + xy + 8y^2 = 14$

$\left(\frac{2y + y^2 + 7}{3}\right)^2 + \frac{2y + y^2 + 7}{3}y + 8y^2 = 14$

Теперь у вас есть уравнение только относительно $y$. Давайте упростим его:

$\frac{1}{9}(2y + y^2 + 7)^2 + \frac{1}{3}(2y + y^2 + 7)y + 8y^2 = 14$

Умножим обе стороны на 9, чтобы избавиться от дробей:

$(2y + y^2 + 7)^2 + 3(2y + y^2 + 7)y + 72y^2 = 126$

Теперь у нас есть уравнение вида:

$A^2 + 3Ay + 72y^2 = 126$

где $A = 2y + y^2 + 7$.

Теперь давайте решим это уравнение второй степени. Мы можем выразить его в виде:

$A^2 + 3Ay + 72y^2 - 126 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $A$. Мы можем использовать квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ с $A = 1$, $B = 3y$, и $C = 72y^2 - 126$. Мы можем использовать дискриминант, чтобы найти корни:

Дискриминант $D = B^2 - 4AC$

$D = (3y)^2 - 4(72y^2 - 126)$

$D = 9y^2 - 4(72y^2 - 126)$

$D = 9y^2 - (288y^2 - 504)$

$D = 9y^2 - 288y^2 + 504$

$D = -279y^2 + 504$

Теперь, чтобы найти корни $A$, мы используем квадратное уравнение:

$A = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$

$A = \frac{-3y \pm \sqrt{-279y^2 + 504}}{2}$