Question

Помогите решить дифференциальное уравнение. Y’=2^x+y

Answer 1

Ответ:

$y'=2^{x}+y\\\\y'-y=2^{x}\\\\y=uv\ ,\ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-uv=2^{x}\\\\u'v+u\, (v'-v)=2^{x}\\\\a)\ \ v'-v=0\ \ ,\ \ \dfrac{dv}{dx}=v\ \ ,\ \ \ \int \dfrac{dv}{v}=\int dx\ \ ,\ \ \ lnv=x\ \ ,\ \ v=e^{x}\\\\\\b)\ \ u'\cdot e^{x}=2^{x}\ \ ,\ \ \ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{2^{x}}{e^{x}}\ \ ,\ \ \ \int du=\int \Big(\dfrac{2}{e}\Big)^{x}\, dx\ \ ,\\\\u=\dfrac{\Big(\dfrac{2}{e}\Big)^{x}}{ln\dfrac{2}{e}}+C\ \ ,\ \ \ u=\dfrac{2^{x}}{e^{x}\cdot (ln2-1)}+C$

$c)\ \ y=e^{x}\cdot \Big(\dfrac{2^{x}}{e^{x}\cdot (ln2-1)}+C\Big)\ \ \ ,\ \ \ \ y=\dfrac{2^{x}}{ln2-1}+C\cdot e^{x}$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Это уравнение имеет вид:

y' = 2^x + y

Для его решения мы можем использовать метод разделения переменных. Сначала выразим все члены с y на одной стороне уравнения, а все члены с x на другой стороне:

y' - y = 2^x

Теперь давайте попробуем найти интеграл от обеих сторон:

∫(y' - y) dx = ∫2^x dx

Интеграл слева легко вычисляется:

∫(y' - y) dx = y - ∫y dx

Интеграл справа также можно вычислить, используя формулу для интеграла от степени:

∫2^x dx = (2^x) / ln(2) + C1

Где C1 - произвольная константа интегрирования.

Теперь у нас есть следующее уравнение:

y - ∫y dx = (2^x) / ln(2) + C1

Для упрощения решения, давайте выразим интеграл от y в левой части уравнения:

∫y dx = y + C2

Где C2 - ещё одна произвольная константа интегрирования.

Теперь мы можем записать уравнение в следующем виде:

y + C2 = (2^x) / ln(2) + C1

Теперь выразим y:

y = (2^x) / ln(2) + C1 - C2

Где C1 и C2 - произвольные константы интегрирования. Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Если у вас есть начальные условия (например, значение y при определенном значении x), вы можете использовать их, чтобы найти конкретные значения для C1 и C2 и получить частное решение.