Question

Помогите решить!!! 3sin2x=2cos2x

Answer 1

Ответ:

разделим на cos2x, не равный 0.

$3 \sin(2x) = 2 \cos(2x) \\ 3tg(2x) = 2 \\ tg(2x) = \frac{2}{3} \\ 2x = arctg( \frac{2}{3} ) + \pi \: n \\ x = \frac{1}{2} arctg( \frac{2}{3} ) + \frac{\pi \: n}{2}$

n принадлежит Z.

Answer 2

Давайте решим уравнение 3sin(2x) = 2cos(2x) следующим образом:

1. Используем тригонометрический идентификатор sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x):

3 * 2sin(x)cos(x) = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

2. Раскроем скобки и упростим уравнение:

6sin(x)cos(x) = 2cos^2(x) - 2sin^2(x)

3sin(x)cos(x) = cos^2(x) - sin^2(x)

3sin(x)cos(x) = (cos^2(x) - sin^2(x))

3sin(x)cos(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x))

3sin(x)cos(x) = 2cos^2(x) - 1

3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

3sin(x)cos(x) - 2(1 - sin^2(x)) + 1 = 0

3sin(x)cos(x) - 2 + 2sin^2(x) + 1 = 0

3sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) - 1 = 0

3sin(x)cos(x) + 2sin^2(x) - 1 = 0

3sin(x)cos(x) + 2(1 - cos^2(x)) - 1 = 0

3sin(x)cos(x) + 2 - 2cos^2(x) - 1 = 0

3sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Давайте обозначим sin(x) как y и cos(x) как z:

3yz - 2z^2 + 1 = 0

Это квадратное уравнение можно решить, используя методы решения квадратных уравнений. Выразим z через y:

z = (2 ± √(4 - 12y)) / 6

Теперь мы можем вернуться к y и z, где y = sin(x) и z = cos(x), чтобы найти все решения уравнения. Помните, что sin(x) и cos(x) могут находиться в пределах [-1, 1].

1. Подставим z = (2 + √(4 - 12y)) / 6 в уравнение 3yz - 2z^2 + 1 = 0 и решим его для y:

3y((2 + √(4 - 12y)) / 6) - 2((2 + √(4 - 12y)) / 6)^2 + 1 = 0

2. Подставим z = (2 - √(4 - 12y)) / 6 в уравнение 3yz - 2z^2 + 1 = 0 и решим его для y:

3y((2 - √(4 - 12y)) / 6) - 2((2 - √(4 - 12y)) / 6)^2 + 1 = 0

Решив эти два уравнения, вы найдете значения y (sin(x)) и z (cos(x)), которые удовлетворяют вашему исходному уравнению.