Question

Найдите остаток от деления 30⁹⁹+61⁹⁹ на 31 Срочно пж

Answer 1

Объяснение:

Так как 101 – простое число, то 3100 ≡ 1 (mod 101). Отсюда 3102 = 9·3100 ≡ 9 (mod 101).

це просто приклад як потрібно виконувати

Answer 2

Для нахождения остатка от деления $30^{99} + 61^{99}$ на 31, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма. Согласно этой теореме, если $p$ - простое число, а $a$ - целое число, не кратное $p$, то

$a^{p-1} \equiv 1 \mod p.$

В данном случае $p = 31$, и $30$ и $61$ не кратны $31$, поэтому мы можем воспользоваться теоремой Ферма:

$30^{30} \equiv 1 \mod 31$ $61^{30} \equiv 1 \mod 31$

Теперь мы можем возвести обе стороны уравнения в степень 3:

$(30^{30})^3 \equiv 1^3 \mod 31$ $(61^{30})^3 \equiv 1^3 \mod 31$

Это даст нам:

$30^{90} \equiv 1 \mod 31$ $61^{90} \equiv 1 \mod 31$

Теперь мы можем использовать эти результаты для нахождения остатка от деления $30^{99} + 61^{99}$ на $31$.

$30^{99} + 61^{99} = 30^{90} \cdot 30^9 + 61^{90} \cdot 61^9$

По результатам выше, $30^{90}$ и $61^{90}$ дают остаток $1$ при делении на $31$, поэтому у нас остается:

$1 \cdot 30^9 + 1 \cdot 61^9$

Теперь вычислим $30^9$ и $61^9$:

$30^9 = 19683000000$ $61^9 = 2565726400625$

Теперь сложим их:

$19683000000 + 2565726400625 = 2565746083625$

Теперь найдем остаток от деления этой суммы на $31$:

$2565746083625 \mod 31 = 14$

Итак, остаток от деления $30^{99} + 61^{99}$ на $31$ равен $14$.