Question

Логарифм, решить пошагово, обязательно с ОДЗ lg²x-2lgx-3=0

Answer 1

Ответ:

x={0.1;1000}

Объяснение:

lg²x-2lgx-3=0

ОДЗ: x>0

lgx₁=3⇒x₁=10³=1000

lgx₂=-1⇒x₂=10⁻¹=0.1

Answer 2

Для решения уравнения lg²x - 2lgx - 3 = 0 сначала давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Обратите внимание, что lg (логарифм по основанию 10) в уравнении обозначен как lgx. Давайте введем новую переменную и заменим lgx на t:

t = lgx

Теперь уравнение принимает вид:

t² - 2t - 3 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение пошагово. Мы можем попробовать факторизацию или использовать квадратное уравнение.

1. Раскроем скобки:

t² - 2t - 3 = 0

2. Попробуем факторизовать. Мы ищем два числа, которые перемножаются в -3 и складываются в -2. Эти числа -3 и 1.

(t - 3)(t + 1) = 0

3. Теперь у нас есть два возможных значения t:

a) t - 3 = 0 t = 3

b) t + 1 = 0 t = -1

4. Но мы помним, что мы ввели замену t = lgx, поэтому у нас есть:

a) lgx = 3 b) lgx = -1

5. Теперь давайте избавимся от логарифмов, возведя обе стороны уравнения в степень 10:

a) 10^(lgx) = 10^3 x = 1000

b) 10^(lgx) = 10^(-1) x = 0.1

Итак, у нас есть два решения для исходного уравнения:

x = 1000 и x = 0.1

Теперь проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции. Логарифм от отрицательного числа или нуля не существует, поэтому ОДЗ для данного уравнения:

x > 0

Итак, наше окончательное решение уравнения lg²x - 2lgx - 3 = 0 с учетом области допустимых значений:

x = 1000 (при условии x > 0) x = 0.1 (при условии x > 0)