Question

Помогите пожалуйста!!! Решите уравнение используя свойства функций. √(2х+1)+√(х-3)=4+log1/2 (x-3)

Answer 1

$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}=4+\log_{\tfrac{1}{2}}\big(x-3\big)\iff \sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}+\log_{2}(x-3)=4$

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-3}+\log_{2}(x-3)$ на её области определения $D_{f}=\big(3;+\infty\big)$

График этой функции пересечёт линию $y=4$ более одного раза только если будут существовать промежутки разной монотонности (на каких-то функция возрастает, на других - убывает).

Обязательным условием смены монотонности функции является обращение её производной в ноль (или несуществование производной) в точке, где монотонность меняется. Попробуем их найти.

$f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-3}}+\dfrac{1}{(x-3)\ln 2} > 0~\big(\forall x\in D_{f}\big)$

Как видно из вида производной, для всех точек области определения функции, она не обращается в ноль (более того, функция строго возрастает).

Таким образом, наше уравнение не может иметь более одного корня.

Методом пристального взгляда замечаем, что $x=4$ - корень уравнения.

Действительно, $f(4)=\sqrt{9}+\sqrt{1}+\log_{2}(4-3)=3+1+0=4$

Ответ. $x=4$

Answer 2

Давайте пошагово решим данное уравнение. У нас есть следующее уравнение:

√(2x+1) + √(x-3) = 4 + log₁/₂(x-3)

1. Переносим все члены на одну сторону уравнения, чтобы получить равенство нулю:

√(2x+1) + √(x-3) - 4 - log₁/₂(x-3) = 0

2. Теперь мы видим логарифм с основанием 1/2. Для упрощения выразим его как логарифм с основанием 2:

√(2x+1) + √(x-3) - 4 - log₂(x-3) = 0

3. Для того чтобы избавиться от корней, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[√(2x+1) + √(x-3) - 4 - log₂(x-3)]² = 0

4. Теперь раскроем квадрат слева:

(√(2x+1) + √(x-3) - 4 - log₂(x-3))² = 0

5. Раскроем квадрат, используя формулу (a - b)² = a² - 2ab + b²:

(√(2x+1))² + 2(√(2x+1))(√(x-3)) + (√(x-3))² + 16 + log₂(x-3)² - 8log₂(x-3) - 8√(2x+1)log₂(x-3) + 8√(x-3)log₂(x-3) = 0

6. Упростим выражение:

2x + 1 + 2√[(2x+1)(x-3)] + x - 3 + 16 + log₂(x-3)² - 8log₂(x-3) - 8√(2x+1)log₂(x-3) + 8√(x-3)log₂(x-3) = 0

7. Далее, выразим log₂(x-3)² как (log₂(x-3))²:

2x + 1 + 2√[(2x+1)(x-3)] + x - 3 + 16 + (log₂(x-3))² - 8log₂(x-3) - 8√(2x+1)log₂(x-3) + 8√(x-3)log₂(x-3) = 0

8. Теперь объединим подобные члены:

3x - 1 + 2√[(2x+1)(x-3)] + (log₂(x-3))² - 8log₂(x-3) - 8√(2x+1)log₂(x-3) + 8√(x-3)log₂(x-3) + 14 = 0

9. После этого можем упростить выражение, выделив общий множитель log₂(x-3):

3x - 1 + 2√[(2x+1)(x-3)] + (log₂(x-3))² - 8log₂(x-3)(1 + 8√(2x+1) - 8√(x-3)) + 14 = 0

10. Теперь выразим квадратный корень из (2x+1)(x-3) как √[(2x+1)(x-3)] = √(2x² - 5x - 3):

3x - 1 + 2√(2x² - 5x - 3) + (log₂(x-3))² - 8log₂(x-3)(1 + 8√(2x+1) - 8√(x-3)) + 14 = 0

11. Теперь у нас есть уравнение вида a + b√c + d + e(log₂(x-3))² + flog₂(x-3) = 0, где a, b, c, d, e и f - некоторые константы. Для его решения мы можем воспользоваться методами численного анализа, так как оно не имеет аналитического решения. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод бисекции, чтобы найти приближенное численное решение этого уравнения.

Решение такого уравнения вручную может быть сложным и требовать специальных численных методов.