Question

Найдите значение sin2a, cos2a, ctg2a и tg2a, если П/2<а<П и sina=2/5​

Answer 1

Дано sinα=²/₅ и a лежит во II четверти

$\displaystyle cos2a=cos^2a-sin^2a=1-sin^2a-sin^2a=1-2sin^2a=\\\\=1-2*(\frac{2}{5})^2=1 -\frac{8}{25}=\frac{17}{25}$

$\displaystyle sin2a=2*sina*cosa\\\\cosa=\pm \sqrt{1-sin^2a}= \pm \sqrt{1-\frac{4}{25}}= \pm \sqrt{\frac{21}{25}}= \pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

т.к. a во II четверти то  cosa<0

Тогда cosa= - √21/5

$\displaystyle sin2a= 2*\frac{2}{5}*\frac{-\sqrt{21}}{5}=\frac{-4\sqrt{21}}{25}$

теперь найдем tg 2a и ctg 2а

$\displaystyle tg 2a=\frac{sin 2a}{cos2a}=\frac{-4\sqrt{21}}{25}:\frac{17}{25}=\frac{-4\sqrt{21}}{17}\\\\ctg 2\alpha = -\frac{17}{4\sqrt{21}}$

Answer 2

Для нахождения значений sin(2a), cos(2a), ctg(2a) и tg(2a), зная значение sin(a) = 2/5 и учитывая, что a находится в интервале π/2 < a < π, мы можем использовать следующие тригонометрические формулы:

1. sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a)
2. cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)
3. tg(2a) = (2 * tg(a)) / (1 - tg^2(a))
4. ctg(2a) = 1 / tg(2a)

Давайте начнем с вычисления sin(2a):

sin(a) = 2/5

cos(a) = √(1 - sin^2(a)) = √(1 - (2/5)^2) = √(1 - 4/25) = √(21/25) = √21/5

Теперь мы можем найти sin(2a):

sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a) = 2 * (2/5) * (√21/5) = (4/5) * (√21/5) = (4√21) / 25

Теперь давайте найдем cos(2a):

cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = (√21/5)^2 - (2/5)^2 = (21/25) - (4/25) = 17/25

Теперь найдем tg(2a):

tg(a) = sin(a) / cos(a) = (2/5) / (√21/5) = (2/5) * (5/√21) = 2/√21

tg^2(a) = (2/√21)^2 = 4/21

tg(2a) = (2 * tg(a)) / (1 - tg^2(a)) = (2 * (2/√21)) / (1 - 4/21) = (4/√21) / (17/21) = (4/√21) * (21/17) = 4/√21 * 3/4 = 3/√21

И, наконец, найдем ctg(2a):

ctg(2a) = 1 / tg(2a) = 1 / (3/√21) = √21/3

Итак, получаем следующие значения:

sin(2a) = (4√21) / 25 cos(2a) = 17/25 tg(2a) = 3/√21 ctg(2a) = √21/3