Question

Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Утром, когда двери на вход только открылись, зал перед эскалаторами был пуст и людей на платформу доставлял только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за 1010 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили второй эскалатор, но число людей в зале продолжило увеличиваться, и ещё через 2525 минут зал заполнился целиком. Через сколько минут зал опустеет, если включить третий эскалатор?

Answer 1

Решение
При одном включённом эскалаторе за минуту заполняется 1/12 зала. При двух включённых эскалаторах за минуту заполняется 1/30 зала. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Разница 1/12 – 1/30 = 1/20 показывает, какую часть зала опустошает за минуту один эскалатор. Когда включат третий эскалатор, толпа начнёт убывать со скоростью 1/20 – 1/30 = 1/60 зала в минуту. Следовательно, зал освободится через час.
Второй способ. Скорость v2 заполнения зала при двух включенных эскалаторах равна среднему арифметическому скоростей v1 и v3 заполнения при одном и трёх включенных эскалаторах. Поэтому v3 = 2v2 – v1 = 2·1/30 – 1/12 = – 1/60, то есть освобождается 1/60 зала в минуту.

Ответ
За час.

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Из условия задачи известно, что первый эскалатор наполовину заполнил зал за 10 минут. Это значит, что он перевозил половину всех приходящих людей в зале за это время.

Затем был включен второй эскалатор, и зал заполнился целиком за 25 минут. За это время оба эскалатора вместе перевезли оставшихся 50% людей в зале, так как первый эскалатор уже перевез половину.

Итак, первый эскалатор перевозил 50% людей за 10 минут, что означает, что он перевозит 5% людей в минуту. А оба эскалатора вместе перевозили оставшиеся 50% людей за 25 минут, что означает, что оба эскалатора вместе перевозят 2% людей в минуту (50% / 25 минут).

Теперь мы знаем скорость работы двух эскалаторов вместе - 2% людей в минуту. Если мы хотим узнать, через сколько минут зал опустеет, если включить третий эскалатор, то нужно разделить 100% (весь зал) на скорость работы трех эскалаторов вместе, то есть:

100% / (2% + скорость третьего эскалатора) = время в минутах.

Теперь мы можем решить эту уравнение:

100% / (2% + скорость третьего эскалатора) = время в минутах.

1 / (0.02 + скорость третьего эскалатора) = время в минутах.

Теперь давайте найдем скорость третьего эскалатора, предполагая, что зал опустеет через T минут:

0.02 + скорость третьего эскалатора = 1 / T.

Скорость третьего эскалатора = 1 / T - 0.02.

Теперь мы знаем скорость третьего эскалатора. Чтобы зал опустел, его скорость должна быть такой, чтобы он перевез всю оставшуюся половину людей (50%) за T минут. Поэтому:

1 / T - 0.02 = 0.5.

1 / T = 0.5 + 0.02.

1 / T = 0.52.

T = 1 / 0.52.

T ≈ 1.92 минуты.

Итак, если включить третий эскалатор, зал опустеет примерно через 1.92 минуты.