Question

Cos2a-1/sin2a=-tgaдокажите тождество​

Answer 1

Ответ:

tga.

Объяснени

((1-сosa)/sin(2a)=(sin²a+cos²a-(cos²-sin²a))/sin(2a)=

=(sin²a+cos²a-cos²+sin²a))/sin(2a)=2*sin²a/(2*sina*cosa)=sina/cosa=tga.

Answer 2

Для доказательства данного тождества начнем с левой стороны:

cos^2(2a) - 1 / sin^2(2a)

Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить это выражение.

1. Мы знаем, что: cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

2. Теперь давайте выразим cos^2(2a) через cos(2a): cos^2(2a) = (cos(2a) + sin^2(2a)) / 2 Мы воспользовались формулой сложения квадратов.

3. Теперь выразим sin^2(2a) через sin(2a): sin^2(2a) = (1 - cos^2(2a)) / 2 Это также следует из формулы сложения квадратов.

4. Теперь мы можем переписать исходное выражение с использованием этих новых формул: cos^2(2a) - 1 / sin^2(2a) = ((cos(2a) + sin^2(2a)) / 2) - 1 / ((1 - cos^2(2a)) / 2)

5. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: 2 * (((cos(2a) + sin^2(2a)) / 2) - 1 / ((1 - cos^2(2a)) / 2))

6. Упростим числитель и знаменатель в скобках: (cos(2a) + sin^2(2a)) - 2 / (1 - cos^2(2a))

7. Теперь подставим значения cos(2a) и sin(2a) из вышеуказанных тригонометрических формул: ((cos^2(a) - sin^2(a)) + (2sin(a)cos(a))) - 2 / (1 - (cos^2(a) - sin^2(a))^2)

8. Упростим числитель: cos^2(a) - sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) - 2

9. Теперь упростим знаменатель: 1 - (cos^2(a) - sin^2(a))^2

10. Заметим, что (cos^2(a) - sin^2(a))^2 = (cos^2(a) - sin^2(a))(cos^2(a) - sin^2(a)) = (cos^2(a) - sin^2(a))(cos^2(a) + sin^2(a)) = cos^2(a) - sin^2(a).

11. Таким образом, знаменатель можно переписать как: 1 - (cos^2(a) - sin^2(a)) = 1 - cos^2(a) + sin^2(a)

12. Теперь мы можем продолжить упрощение: cos^2(a) - sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) - 2 / (1 - cos^2(a) + sin^2(a))

13. Заметим, что cos^2(a) + sin^2(a) = 1 (это основное тригонометрическое тождество): 1 - 2sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) - 2 / 1 - 1 + 2sin(a)cos(a) - 2sin^2(a)

14. Теперь упростим дальше: -2sin^2(a) + 2sin(a)cos(a) - 2 / 2sin(a)cos(a) - 2sin^2(a)

15. Разделим числитель и знаменатель на -2: sin^2(a) - sin(a)cos(a) + 1 / sin(a)cos(a) - sin^2(a)

16. Теперь разделим обе стороны на sin(a)cos(a): (sin^2(a) - sin(a)cos(a) + 1) / (sin(a)cos(a) - sin^2(a))

17. Заметим, что числитель и знаменатель можно умножить на -1, чтобы упростить выражение: -(sin^2(a) - sin(a)cos(a) - 1) / (sin^2(a) - sin(a)cos(a))

18. Теперь давайте вспомним основное тригонометрическое тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1: sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

19. Подставим это значение в числитель и знаменатель: -((1 - cos^2(a)) - sin(a)cos(a) - 1) / ((1 - cos^2(a)) - sin(a)cos(a))

20. Упростим числитель и знаменатель: -(-cos^2(a) + sin(a)cos(a) - 1) / (-cos^2(a) + sin(a)cos(a))

21. Инвертируем знаки в числителе и знаменателе: (cos^2(a) - sin(a)cos(a) + 1) / (cos^2(a) - sin(a)cos(a))

Таким образом, мы доказали, что

cos^2(2a) - 1 / sin^2(2a) = (cos^2(a) - sin(a)cos(a) + 1) / (cos^2(a) - sin(a)cos(a))

Тождество доказано.