Question

Дана функция у= -x2 + 4x - 3. Не строя графика, найдите: а) область определения функции. b) нули функции. с) наибольшее значение функции. d) область значения функции​

Answer 1

Ответ:

$y=-x^2+4x-3\\\\-x^2+4x-3=-(x^2-4x+3)=-\Big((x^2-4x+4)-4+3\Big)=-(x-2)^2+1\\\\y=-(x-2)^2+1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ Vershina(\ 2\ ;\ 1\ )\\\\\\a)\ \ OOF:\ \ x\in D(y)=(-\infty ;+\infty )\\\\d)\ \ OZF:\ y\in E(y)=(-\infty \, ,\ 1\ ]\\\\b)\ \ y=0\ \ \Rightarrow \ \ -x^2+4x-3=0\ \ ,\ \ x_1=1\ ,\ x_2=3\ \ (teorema\ Vieta)\\\\A(1;0)\ ,\ \ B(3;0)\\\\c)\ \ y(naibol.)=y(2)=1$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из пунктов по очереди:

а) Область определения функции: Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция имеет смысл. В данном случае, функция у = -x^2 + 4x - 3 является квадратичной функцией, и квадратные функции определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения этой функции - это множество всех действительных чисел, то есть (-∞, +∞).

b) Нули функции: Нули функции - это значения x, при которых функция равна нулю. Для нахождения нулей функции, мы должны решить уравнение -x^2 + 4x - 3 = 0. Это уравнение можно решить с помощью квадратного уравнения или факторизации:

-x^2 + 4x - 3 = 0

Сначала умножим обе стороны на -1, чтобы перейти к положительному коэффициенту перед x^2:

x^2 - 4x + 3 = 0

Теперь попробуем факторизацию:

(x - 3)(x - 1) = 0

Из этого уравнения мы видим два значения x, при которых функция равна нулю:

x = 3 и x = 1

Таким образом, нули функции - это x = 3 и x = 1.

с) Наибольшее значение функции: Наибольшее значение функции находится в вершине её параболы. Для квадратичной функции вида y = ax^2 + bx + c, вершина находится в точке x = -b/(2a). В данном случае, a = -1, b = 4, поэтому:

x = -4/(2*(-1)) = -4/(-2) = 2

Таким образом, x = 2 - это x-координата вершины параболы.

Чтобы найти соответствующее ей значение y, подставим x = 2 в исходное уравнение:

y = -x^2 + 4x - 3 y = -(2^2) + 4*2 - 3 y = -4 + 8 - 3 y = 1

Наибольшее значение функции равно 1 и достигается при x = 2.

d) Область значений функции: Область значений функции - это множество всех значений y, которые функция может принимать. Для данной квадратичной функции, область значений будет зависеть от ветвей параболы.

Парабола открывается вниз, и её вершина находится в точке (2, 1). Таким образом, наибольшее значение функции - это 1. Исходя из этого, область значений функции будет от минус бесконечности до 1, включая 1 ([-∞, 1]).