Question

Решите уравнение: А) sin квадрат x/2-sin квадрат 3x/2=0 Б) 2cos квадрат2х+ cos 8x-1=0 Представьте в виде произведения Sin (п/3+х)+sin (п/3-х)

Answer 1

Ответ:ешим уравнение и найдем корень уравнения:  

sin^2 x + 2 * sin x * cos x - 3 * cos^2 x = 0;  

Делим уравнение на cos^2 x.  

sin^2 x/cos^2 x + 2 * sin x * cos x/cos^2 x - 3 * cos^2 x/cos^2 x = 0;  

(sin x/cos x)^2 + 2 * (sin x/cos x) - 3 * 1 = 0;  

tg^2 x + 2 * tg x - 3 = ;  

Найдем дискриминант квадратного уравнения:  

D = 4 - 4 * 1 * (-3) = 16;  

tg x1 = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1;  

tg x2 = (-2 - 4)/2 = -6/2 = -3;  

1) tg x = 1;  

x = arctg (1) + pi * n, где n принадлежит Z;  

x = pi/4 + pi * n, где n принадлежит Z;  

2) tg x=  -3;  

x = arctg (-3) + pi * n, где n принадлежит Z;  

x = -arctg (3) + pi * n, где n принадлежит Z.

Объяснение:

Answer 2

А) Давайте решим уравнение sin^2(x/2) - sin^2(3x/2) = 0:

Используем тригонометрическую идентичность для разности квадратов синусов: sin^2(A) - sin^2(B) = sin(A + B) * sin(A - B)

В данном случае A = x/2 и B = 3x/2, поэтому: sin^2(x/2) - sin^2(3x/2) = sin(x) * sin(-x) = -sin^2(x)

Теперь у нас есть уравнение: -sin^2(x) = 0

Чтобы решить это уравнение, заметим, что -sin^2(x) всегда меньше или равно нулю, и оно равно нулю только при sin(x) = 0. Таким образом, решение уравнения -sin^2(x) = 0 - это sin(x) = 0.

Теперь найдем все значения x, для которых sin(x) = 0. Это происходит, когда x равно кратным числам pi, то есть x = n*pi, где n - целое число.

Б) Рассмотрим уравнение 2cos^2(2x) + cos(8x) - 1 = 0:

Давайте представим cos(8x) в виде выражения с помощью кратких тригонометрических идентичностей. Для этого воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

cos(2A) = 2cos^2(A) - 1

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом: 2cos^2(2x) + 2cos^2(4x) - 1 = 0

Теперь объединим слагаемые с косинусами: 2cos^2(2x) + 2cos^2(4x) = 1

Давайте воспользуемся произведением суммы и разности для косинусов: cos(A)cos(B) = 0.5[cos(A + B) + cos(A - B)]

Применим это к нашему уравнению: 2 * 0.5[cos(2x + 4x) + cos(2x - 4x)] + 2 * 0.5[cos(2x + 4x) - cos(2x - 4x)] = 1

Упростим: cos(6x) + cos(6x) = 1

2cos(6x) = 1

Теперь делим обе стороны на 2: cos(6x) = 0.5

Теперь найдем угол, для которого косинус равен 0.5. Это происходит при x = pi/6 + 2n*pi, где n - целое число.

Итак, решение уравнения 2cos^2(2x) + cos(8x) - 1 = 0 - это x = pi/6 + 2n*pi, где n - целое число.

В) Чтобы представить выражение Sin(π/3 + x) + Sin(π/3 - x) в виде произведения, воспользуемся формулой для суммы синусов:

Sin(A) + Sin(B) = 2 * Sin((A + B)/2) * Cos((A - B)/2)

В данном случае A = π/3 + x и B = π/3 - x, поэтому: Sin(π/3 + x) + Sin(π/3 - x) = 2 * Sin((π/3 + x + π/3 - x)/2) * Cos((π/3 + x - π/3 + x)/2)

Упростим выражение: Sin(2π/3) * Cos(2x/2) = Sin(2π/3) * Cos(x)

Таким образом, выражение Sin(π/3 + x) + Sin(π/3 - x) можно представить в виде произведения: Sin(π/3 + x) + Sin(π/3 - x) = Sin(2π/3) * Cos(x)