Question

Решите неравенства, используя ФСУ (Формулу Сокращенного Умножения). -х^3+675х-(15+х)(225-15х+х^2)>0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

-x³+675x-(15+x)(225-15x+x²)>0

-x³+675x-(3375+x³)>0

-2x³+675x-3375>0

-2x³+450x+225x-3375>0

-2x³+30x²-30x²+450x+225(x-15)>0

-2x²(x-15)-30x(x-15)+225(x-15)>0

(x-15)(-2x²-30x+225)>0

Допустим:

x-15=0; x₁=15

Проверка при x₁<15:

-0³+675·0-(15+0)(225-15·0+0²)>0

-15·225>0; -3375<0 - неравенство не соблюдается.

Допустим:

-2x²-30x+225=0

2x²+30x-225=0; D=900+1800=2700

x₂=(-30-√2700)/4=(-30-30√3)/4=(-15√3 -15)/2

x₃=(-30+√2700)/4=(15√3 -15)/2

Проверка при x₂>(-15√3 -15)/2:

-0³+675·0-(15+0)(225-15·0+0²)>0; -3375<0 - неравенство не соблюдается.

Проверка при x₃>(15√3 -15)/2:

-10³+675·10-(15+10)(225-15·10+10²)>0

-1000+6750-25·(225-150+100)>0

5750-25·175>0; 5750-4375>0; 1375>0 - неравенство соблюдается.

Следовательно, (-∞<x<(-15√3 -15)/2)∨((15√3 -15)/2<x<15).

Ответ: x∈(-∞; (-15√3 -15)/2)∪((15√3 -15)/2; 15).

Объяснение:

Answer 2

Для решения данного неравенства с использованием Формулы Сокращенного Умножения (ФСУ), мы сначала упростим выражение, а затем будем исследовать знак полученного выражения на интервалах.

Исходное неравенство: -x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0

1. Упростим выражение в скобках:

(15 + x)(225 - 15x + x^2) = 3375 - 225x + 15x^2 + 15x^2 - x^3 = 3375 - 225x + 30x^2 - x^3

2. Теперь заменим это выражение в исходном неравенстве:

-x^3 + 675x - (3375 - 225x + 30x^2 - x^3) > 0

3. Упростим далее:

-x^3 + 675x - 3375 + 225x - 30x^2 + x^3 > 0

4. Сгруппируем по степеням x:

(-30x^2 + 225x - 3375) + (-x^3 + x^3) + 675x > 0

5. Упростим:

-30x^2 + 225x - 3375 + 675x > 0

-30x^2 + 900x - 3375 > 0

6. Теперь мы можем применить Формулу Сокращенного Умножения:

Для квадратного трехчлена вида ax^2 + bx + c, ФСУ гласит, что неравенство ax^2 + bx + c > 0 эквивалентно неравенству a(x - x1)(x - x2) > 0, где x1 и x2 - это корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0.

В нашем случае:

a = -30, b = 900, c = -3375

Сначала найдем корни уравнения -30x^2 + 900x - 3375 = 0:

-30x^2 + 900x - 3375 = -30(x^2 - 30x + 112.5) = -30(x - 7.5)(x - 15) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x1 = 7.5 и x2 = 15.

7. Теперь определим знак выражения на каждом из интервалов:

• берем интервал (-бесконечность, x1), например, (-∞, 7.5)
• берем интервал (x1, x2), например, (7.5, 15)
• берем интервал (x2, +бесконечность), например, (15, +∞)

Давайте исследуем каждый интервал:

• Для интервала (-∞, 7.5): Подставляем x = 0 (любое значение меньше 7.5): -30(0 - 7.5)(0 - 15) > 0 -30 * (-7.5) * (-15) > 0 -30 * 112.5 > 0 -3375 > 0 Это неравенство не выполняется на данном интервале.

• Для интервала (7.5, 15): Подставляем x = 10 (любое значение между 7.5 и 15): -30(10 - 7.5)(10 - 15) > 0 -30 * 2.5 * (-5) > 0 -30 * (-12.5) > 0 375 > 0 Это неравенство выполняется на данном интервале.

• Для интервала (15, +∞): Подставляем x = 20 (любое значение больше 15): -30(20 - 7.5)(20 - 15) > 0 -30 * 12.5 * 5 > 0 1875 > 0 Это неравенство также выполняется на данном интервале.

Итак, неравенство -x^3 + 675x - (15 + x)(225 - 15x + x^2) > 0 выполняется на интервалах (7.5, 15) и (15, +∞).