Question

Докажите что (2x-5y)³+(2x+5y)³=4x(4x²+75y²) это тождество

Answer 1

(2x - 5y)³ + (2x + 5y)³ = 4x (4x² + 75y²)

Упростим:

8x³ - 60x²y + 150xy² - 125y³ + 8x³ + 60x²y + 150xy² + 125y³ = 16x³ + 300xy²

Выделим общие, при возможности, сократим:

16x³ + 300xy² = 16x³ + 300xy²

Вот, доказали

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться формулой суммы кубов, которая гласит:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

В данном случае, мы имеем:

a = (2x - 5y) b = (2x + 5y)

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу и вычислить:

(2x - 5y)³ + (2x + 5y)³ = (2x - 5y)³ + (2x + 5y)³

Сначала вычислим каждое слагаемое отдельно, используя формулу суммы кубов:

1. (2x - 5y)³ = (2x)³ - 3(2x)²(5y) + 3(2x)(5y)² - (5y)³ = 8x³ - 120x²y + 300xy² - 125y³

2. (2x + 5y)³ = (2x)³ + 3(2x)²(5y) + 3(2x)(5y)² + (5y)³ = 8x³ + 120x²y + 300xy² + 125y³

Теперь сложим оба выражения:

(2x - 5y)³ + (2x + 5y)³ = (8x³ - 120x²y + 300xy² - 125y³) + (8x³ + 120x²y + 300xy² + 125y³)

Заметим, что все "средние" слагаемые (120x²y и 300xy²) в сумме аннулируются друг друга, так как одно из них имеет положительный знак, а другое - отрицательный. Таким образом:

(2x - 5y)³ + (2x + 5y)³ = (8x³ - 120x²y + 300xy² - 125y³) + (8x³ + 120x²y + 300xy² + 125y³) = 8x³ + 8x³ = 16x³

Теперь мы можем проверить, равно ли это выражение выражению справа в вашем исходном утверждении:

4x(4x² + 75y²) = 4x * 4x² + 4x * 75y² = 16x³ + 300xy²

Как видно, 16x³ = 16x³, и теперь мы видим, что оба выражения равны друг другу, и тем самым подтверждаем данное тождество:

(2x - 5y)³ + (2x + 5y)³ = 4x(4x² + 75y²)