Question

Решить в натуральных числах уравнение : 2^n+7=m^2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Идея такая:

2ⁿ  - четное

2ⁿ+7 нечетное, значит m- нечетное.

m²-2ⁿ = 7

Видится первый вариант: m = 3  n = 1

Судя по всему, других нет вариантов, но как доказать - не знаю

Answer 2

Для решения данного уравнения в натуральных числах $n$ и $m$ мы можем применить различные методы, однако сначала заметим, что $m$ должно быть нечетным, так как $2^n + 7$ всегда нечетно.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от четности $n$:

1. **Случай 1: $n$ четное ($n = 2k$): $2^{2k} + 7 = m^2$ Это можно переписать в виде: $(m - 2^k)(m + 2^k) = 7$ Поскольку $m$ нечетно (как и, следовательно, $m + 2^k$ и $m - 2^k$), мы можем сказать, что $m + 2^k > m - 2^k$. Таким образом, у нас есть два случая:

   $$\begin{align*} m - 2^k &= 1 \\ m + 2^k &= 7 \end{align*}$$

   Решая эти уравнения, мы получаем $m = 4$ и $k = 1$, следовательно, $n = 2k = 2$.

2. **Случай 2: $n$ нечетное ($n = 2k + 1$): $2^{2k + 1} + 7 = m^2$ Это можно переписать в виде: $2 \times 4^k + 7 = m^2$ Рассмотрим остаток от деления левой стороны на 4: $2 \times 4^k + 7 \equiv 2 \times 0 + 3 \equiv 3 \pmod{4}$ Однако, квадраты натуральных чисел дают остатки 0 или 1 при делении на 4. Таким образом, в этом случае уравнение не имеет решений.

Итак, единственным решением в натуральных числах для данного уравнения $2^n + 7 = m^2$ является $n = 2, m = 3$.